2014年双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题
考点 双曲线
典型考法1 双曲线的最值问题
典型例题
已知点M(?2，动点P满足条件|PM|?|PN|?22，记动点P的轨迹0)，N(2，0)，为W．
(1)求W的方程；
(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值．
解析 (1)由PM－PN?22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a?2，半焦距 c=2，故虚半轴长b?c2?a2?2，从而W的方程为
x2y2??1(x?2)． 22(2)方法一：分两种情况进行讨论，设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．当
y1??y2，从而OA?OB?x1x2?y1y2?x12?y12?2；当AB不AB?x轴时，x1?x2，与x垂直时，设直线AB的方程为y?kx?m，与W的方程联立，消去y得
(1?k)x?2kmx?m?2?0222，故
2kmm2?2x1?x2?，x1x2?1?k21?k2，所以
O?A4O2?B2?，又x1x2?0，综上所述，OA?OB取?k2?1?0，?OA?OB?2，
k?1设A、B的坐标分别为
得最小值2．
方法二：
(x1，y1)、(x2，y2)， 则
xi2?yi2?(xi?yi)(xi?yi)?2(i?1，2)．令si?xi?yi，ti?xi?yi(i?1，2)，于是
siti?2，且si?0，ti?0(i?1，2)，所以，OA?OB?x1x2?y1y2?s1s2?t1t2? 2?x1?x2时不等式取等号，所以OA?OB的最小s1s2t1t2?2，当且仅当s1s2?t1t2，即??y1??y2值是2．
方法三：设A、B的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)， 则OA?OB?x1x2?y1y2，
因为x1x2?0，要求OA?OB的最小值，必须y1y2?0，
22OA?OB?x1x2?x12?2?x2?2?x1x2?(x1x2)2?2(x12?x2)?4?x1x2?(x1x2)?4x1x2?4?x1x2?(x1x2?2)?2，
当且仅当x1?x2时，OA?OB取得最小值2． 方法四：注意到y1y2?0，
2
1122OA?OB?x1x2?y1y2?[x12?x2?(x1?x2)2]?[(y1?y2)2?y12?y2]?
2212121122(x1?y12)?(x2?y2)?[(y1?y2)2?(x1?x2)2]?2?[(x12?2?x2?2)2?(x1?x2)2]?22222?(x1?x2)[
2(x1?x2)2(x?2?x?2)21222?1]?2，当且仅当x1?x2时，OA?OB取最小值2．
必杀技： 利用求函数最值的方法+双曲线性质
解决与双曲线有关的最值问题须注意：
1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值． 2．最值问题的求解策略：
(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式） (2)具体方法：
①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 ②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 ③结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值 ④利用基本不等式求最值
还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用．
结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线x?y?a，是否有类似的结论，回答是肯定的，即
结论一：若A，B是等轴双曲线x?y?a的右支上的不同两点，O是坐标原点，则OA?OB的最小值为a．
对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论： 结论二：
2222222
实战演练
x2y2?＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x?5)2?y2?4和 1．P是双曲线
916(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为 ．
5y2x2b?0)，离心率e?2．已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0，，顶点到渐近线2ab的距离为25． 5(1)求双曲线C的方程； (2)如图8-2-1，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB，
??[，2]，求?AOB面积的取值范围．
.w.k.s.5.13
图8-2-1
x2y23．已知双曲线C1：2?2?1(a?0)，抛物线C2的顶点
a2a在原点O，又C2的焦点是C1的左焦点F1．
(1)求证：C1与C2总有两个不同的交点；
(2)是否存在过C1的焦点F1的C2的弦AB，使?AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由．
参考答案：
x2y2?＝1的右支上一点，F1(－5，0)、F2(5，0)1．9 . 提示：方法一： P是双曲线
9162222是两个焦点，则|PF1|?|PF2|=6，又M、N分别是圆(x?5)?y?4和(x?5)?y?1上的点，∴PM?PN≥|PF1|?2?(|PF2|?1)=9．
方法二：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9．
y28?x2?1. (2)[2，] . 提示：方法一： 2．(1) 43
方法二：
3．(1)证略．
2(2) ?AOB的面积有最小值6a，AB所在直线的方程为x??3a；最大值不存在．
提示：
典型考法2 与双曲线有关的定点与定值问题
典型例题
已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．
(1)若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中O为坐标原点）(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
220)，B(x2，y2)．F2(2，0)，解析 (1)方法一：由条件知F1(?2，设A(x1，y1)，设M(x，y)，
则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)，F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由11?x?2?x1?x2?6?x1?x2?x?4，，即?，于是AB的中点坐标F1M?F?1F?B1得FO?1Ay?y?yy?y?y?12?12
2014年高考数学双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题_经典资料(有答案)要点
