课题：2.2.3等差数列的前n项和
教材：苏教版必修5
一．教学目标
1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；
2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；
二．教学重难点
重点：等差数列前n项和公式的推导
难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．
三．教学方法与教学手段
启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．
四．教学过程
1．创设情境，引入课题
前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．
等差数列的定义：an＋1－an＝d(n?N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n?N*，n≥2)
[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.
(播放阅兵视频)
我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?
[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．
给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：
1 / 6
以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.
问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？
[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．
2．探索质询，追根溯源
(1)构建研究方法
问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法) (学生分组讨论，5分钟后小组汇报) S21＝3＋4＋…＋22＋23
(预设方案1)
从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋14 3＋23
×10＋13＝273 2
(预设方案2)
从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋13
3＋22
×10＋23＝273 2
(预设方案3)
从数的角度：S21＝3＋4＋…＋22＋23
S21＝23＋22＋…＋4＋3
2 S21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)
3＋23
S21＝×21
2
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[设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．
(预设方案4) 几何角度：
切掉左边的两列
1+21
S21＝2×21+1+2+…+21=2×21+×21
2
(预设方案5) 几何角度：
切掉左边的三列
S21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10
[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n项和的第二种形式的推导做铺垫．
[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{an}的前n项和奠定基础．
(2)自主探究 汇报交流
问题3：如何推导出等差数列{an}的前n项之和Sn的公式? 追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？ ①已知a1，an，n； ②已知a1，d，n．
追问2：已知a1，an，n，如何推出？ (小组讨论，5分钟后小组汇报) (预设方案1)
Sn＝a1＋a2 ＋…＋an－1＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋ a2 ＋a1，②
①＋②相加得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， n(a1＋an)
所以Sn＝．
2
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(预设方案2)
Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an
n(a1＋an)n
(1)n为偶数时，Sn＝(a1＋an)＋( a2＋an－1)＋…＝( a1＋an) ＝
22(2)n为奇数时，Sn＝(a1＋an)＋( a2＋an－1)＋ …＋an－1(a1＋an)
＝( a1＋an)＋2
2
n(a1＋an)
2
[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．
[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{an}中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)．
追问4：已知a1，d，n，如何推出？
＝(预设方案3)
Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋ …＋[a1＋(n－1)d] ＝na1＋[1＋2＋…＋(n－1)]d
n(n－1)
＝na1＋d
2
追问：能否找到几何解释所对应的图形
[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n项和的公式的另外一种形式，其中d＋2d＋3d＋……＋(n－1)d还是化归成了1＋2＋……＋(n－1)的问题．
[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n”的问题，体现出了化归的思想．
追问：两个公式等价吗？ [设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现an，而公式②中出现d，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的an是由a1和d决定的，体会a1和d两个基本量的地位与作用．
追问：对比几种推导Sn的方法，你觉得哪种方法简洁？ [设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a1，d，n推导Sn的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n的问题，而1＋2＋…＋n问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.
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n＋12
3．新知运用，巩固深化
例1 在等差数列{an}中，前n项之和为Sn. (1)已知a1＝2，a30＝90，求S30；
1
(2)已知a1＝5，d＝3，求S12.
[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，an，Sn这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.
例2 求出下列各区域的总人数.
重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)
[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．
4．概括知识，总结方法
回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？
5．分层作业，因材施教
(1)巩固运用： P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．
(2)拓展思考：等差数列的通项公式an可以看成关于n 的函数，你能从函数的角度研究Sn吗?
[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究Sn的机会．
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高中数学必修五《等差数列的前n项和》名师教学设计
