课题:2.2.3等差数列的前n项和
教材:苏教版必修5
一.教学目标
1.经历探索等差数列前n项和公式的过程,体会化归、分类讨论等数学思想,掌握倒序相加求和法,积累数学活动的经验;
2.理解等差数列前n项和公式及不同形式,能够灵活选用恰当的形式解决问题;
二.教学重难点
重点:等差数列前n项和公式的推导
难点:从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式.
三.教学方法与教学手段
启发式教学,探究式学习,多媒体辅助教学.
四.教学过程
1.创设情境,引入课题
前面我们学习了数列,研究了一种特殊的数列——等差数列,与学生一起回顾等差数列中的相关知识.
等差数列的定义:an+1-an=d(n?N) (a1是首项,d是公差,n是项数) 等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d(n?N*,n≥2)
[设计意图]通过复习,帮助学生梳理知识框架,教会学生掌握研究数学的一般方法,同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.
(播放阅兵视频)
我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?
[设计意图]紧贴时事与生活,在激发学生爱国热情的同时,让学生感受到数学来源于生活,教会学生用数学的眼光来重新观察世界,思考问题.
给出视频中的几个队列变化的画面,抽象成点阵如下:
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以第三幅图中的蓝色区域为例,进行研究.
问题1:对于这个方阵,你能用数列的观点发现问题、提出问题吗?
[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系,内化等差数列中的首项、项数、公差等概念,引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述,进一步培养学生观察的能力,和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时,让学生自行提出问题进行研究,感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”,而是有据可依.
2.探索质询,追根溯源
(1)构建研究方法
问题2:如何求这个区域的总人数?(尝试用多种方法) (学生分组讨论,5分钟后小组汇报) S21=3+4+…+22+23
(预设方案1)
从数的角度:3+23=4+22+…=12+14 3+23
×10+13=273 2
(预设方案2)
从数的角度:3+22=4+21=…12+13
3+22
×10+23=273 2
(预设方案3)
从数的角度:S21=3+4+…+22+23
S21=23+22+…+4+3
2 S21=(3+23)+(4+22)+…+(22+4)+(23+3)
3+23
S21=×21
2
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[设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n项和的公式,但是对公式背后的意义并不是非常理解,尤其是对配对的思想更是一知半解,所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和,引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形,也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫.
(预设方案4) 几何角度:
切掉左边的两列
1+21
S21=2×21+1+2+…+21=2×21+×21
2
(预设方案5) 几何角度:
切掉左边的三列
S21=3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10
[设计意图]左边设置的常数列,让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法,呼应了前面“配对”的思想.在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题,比较自然的引出了“割”这样的方法,培养学生学会从几何角度给出不同的解释,也为等差数列前n项和的第二种形式的推导做铺垫.
[设计意图]这一环节的设计,让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和,经历自行动手推导的过程,感受配对思想在计算中的带来的便捷,同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算,为接下来探求一般的等差数列{an}的前n项和奠定基础.
(2)自主探究 汇报交流
问题3:如何推导出等差数列{an}的前n项之和Sn的公式? 追问:对于一个数列,已知哪些量可以求和? ①已知a1,an,n; ②已知a1,d,n.
追问2:已知a1,an,n,如何推出? (小组讨论,5分钟后小组汇报) (预设方案1)
Sn=a1+a2 +…+an-1+an,① Sn=an+an-1+…+ a2 +a1,②
①+②相加得: 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an), n(a1+an)
所以Sn=.
2
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(预设方案2)
Sn=a1+a2+…+an-1+an
n(a1+an)n
(1)n为偶数时,Sn=(a1+an)+( a2+an-1)+…=( a1+an) =
22(2)n为奇数时,Sn=(a1+an)+( a2+an-1)+ …+an-1(a1+an)
=( a1+an)+2
2
n(a1+an)
2
[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n项和的公式,其中的配对思想就是数学中的化归思想,将不同的数转化成相同的数相加,从而可以将加法转化为成为进行计算.
[设计意图]研究完具体数列的求和后,让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{an}中,继续内化“倒序相加法”,并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对,为何能配对(要证明).
追问4:已知a1,d,n,如何推出?
=(预设方案3)
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+ …+[a1+(n-1)d] =na1+[1+2+…+(n-1)]d
n(n-1)
=na1+d
2
追问:能否找到几何解释所对应的图形
[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n项和的公式的另外一种形式,其中d+2d+3d+……+(n-1)d还是化归成了1+2+……+(n-1)的问题.
[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释,也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1+2+……+n”的问题,体现出了化归的思想.
追问:两个公式等价吗? [设计意图]通过这一问题,让学生观察两个公式的特点,进而发现两公式的区别,即公式①中出现an,而公式②中出现d,为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫.同时,也让学生感受到公式①中的an是由a1和d决定的,体会a1和d两个基本量的地位与作用.
追问:对比几种推导Sn的方法,你觉得哪种方法简洁? [设计意图]让学生重新回顾几种推导方法,经过对比发现,前几种配对的方法中,最简约的是倒序相加法,而已知a1,d,n推导Sn的方法其实归根结底就是1+2+…+n的问题,而1+2+…+n问题最简约的解法还是倒序相加法.经过这样的分析,让学生明白,推导公式其实还是为了追求简约,追求简约是数学研究的一大基本原则.
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n+12
3.新知运用,巩固深化
例1 在等差数列{an}中,前n项之和为Sn. (1)已知a1=2,a30=90,求S30;
1
(2)已知a1=5,d=3,求S12.
[设计意图]通过例题,让学生巩固公式,会根据题设条件合理地选用公式.通过追问,让学生体会n,a1,d,an,Sn这五个量,可以知三求二,从而加深学生对公式的理解与运用.同时,对于公式的选择,其原则还是追求简约.
例2 求出下列各区域的总人数.
重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)
[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和,熟悉公式,学以致用.
4.概括知识,总结方法
回顾与反思:这节课你学到了哪些知识,蕴含了哪些思想?
5.分层作业,因材施教
(1)巩固运用: P47 习题2.2(2):1,2,3,4,5.
(2)拓展思考:等差数列的通项公式an可以看成关于n 的函数,你能从函数的角度研究Sn吗?
[设计意图]分层布置作业,“巩固运用”面向全体学生,旨在掌握等差数列前n项和公式的应用.“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究Sn的机会.
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高中数学必修五《等差数列的前n项和》名师教学设计
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