重点高中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组
的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
m≤3 A． m ＞3 B．m ≥3 C． D． m＜3
解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组
的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．
2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）
A． B． C． 0.3 D．
分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据
三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可． 解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，
∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，
∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，
AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2∴AC=（4﹣2
）=2﹣
故选B．
，
3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）
A． 到 CD的距离保持不变 C．
等分
B． 位置不变 D．随 C点移动而移动
分析：连OP， 由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，
即可得到OP平分半圆APB． 解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，
∴OP∥CD，
又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B． 4．（3分）已知y= A． 2 ﹣1
分析：
首先把y=
+B． 4﹣2+
（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
C． 3﹣2
D． 2
﹣2
两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的
最大值和最小值，最后求差．
解答：
解：∵y=+，∴y2=4+2
=4+2×，∵1≤x≤5，
当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y取得最小值2，
当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D． 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图． 分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥
侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因
为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D． 点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力． 6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A． 6 圈 B． 6.5圈 C． 7圈 D． 8圈
分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时， 圆心要绕其三角形的顶点旋转
120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．
解 解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边
长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈， ∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C． 点评：
本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质． 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（ ）
A． 2 个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c
＜0，即b＞a+c，错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣
=1，即a=﹣，代入得9（﹣）
+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．③④⑤正确．故选B． 8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果
，那么△ABC的内切圆半径为（ ）
A． 1
B．
C． 2
D．
解答： 解：如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正
三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=AB=2
，故知S△ABC=3
，S△ABC=AB2sin60°=3
，故
，三角形ABC的高h=3，△ABC的内切圆半径r=h=1．故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）解答：
解：∵
解得a+=3，
∴a+2+=3+2，根据题意，a＞0，∴（10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，﹣2 ．
分先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣析：的最大整数得到， [A]=﹣2． 解解：答：
∵A=+
+1
+
）2=5，∴
+
=
．答案为：
．
与
是相反数，计算
=
．
与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|=0，∴3﹣a﹣=0，
，则[A]=
，而≈1.732，然后根据[x]表示不超过x
+1=++1=
=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．
点本题考查了取整计算：[x]表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．
评： 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则
=
．
分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，
易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是
2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC． 解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，
∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，
∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，
构造相似三角形． 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为 3 ．
考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题：探究型． 分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点
C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关
系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出
∠ODC′的度数，进而可得出结论．
重点高中自主招生考试数学试卷
