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微分中值定理怎样构造辅助函数)

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怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键,下面介绍怎样构造的方法,还有附带几个经典例题,希望对广大高数考生有所帮助。

先看这一题,已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证在(a,b)中存在ε使f’(ε)=f(ε)

证明过程: f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以

11dy?y,即dy?dx,所以对两边简单积分,即?dy??1dx,所以

yydx解出来(真的是不定积分的话后面还要加个常数C,但这只是我的经验方法,所以不加)就是lny?x,也就是y?ex,这里就到了最关键的一步,要使等式一边为1!,所以把ex除下来,就是

y?1,所以左xe边就是构造函数,也就是y?e?x,而y就是f(x),所以构造函数就是

f(x)e?x,你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证: 在(a,b)中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0 证:一样的,

1dy??2xy,把x,y移到两边,就是dy??2xdx,所以积

ydx分出来就是lny??x2,注意y一定要单独出来,不能带ln,所以就是移出1就是yex?1,所以构造函数就是f(x)ex,再用罗尔定理y?e?x,就出来了。

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三、已知f(x)连续,且f(a)=f(-a),求证在(-a,a)中存在ε使f’(ε) ε+2f(ε)=0. 证:

y?11dyx?2y?0,移项就是dy??2dx,所以lny??2lnx,所以就是

yxdx122y?x?1f(x)?x,移项就是,所以构造的函数就是,再用罗尔定2x理就可以了。

注:这种方法不是万能的,

结合下面例题尝试做下。

微分中值定理的证明题

1. 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)?f(b)?0,证明:

???R,???(a,b)使得:f?(?)??f(?)?0。

证:构造函数F(x)?f(x)e?x,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且F(a)?F(b)?0,由罗尔中值定理知:???(a,b),使F?(?)?0

即:[f?(?)??f(?)]e???0,而e???0,故f?(?)??f(?)?0。

经典题型二: 思路分析:

实战分析:

设a,b?0,证明:???(a,b),使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 证:将上等式变形得:e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作辅助函数f(x)?xe,则f(x)在[,]上连续,在(,)内可导,

baba 由拉格朗日定理得:

11f()?f()ba?f?(1) 1?(1,1) ,

11?ba??ba11b1a1e?e1a?(1?)e? 1?(1,1) , 即 b11?ba??ba 即:aeb?bee?(1??)e?(a,b) ??(a,b)。

经典题型三

设f(x)在(0,1)内有二阶导数,且f(1)?0,有F(x)?x2f(x)证明:在(0,1) 内至少存在一点?,使得:F??(?)?0。

证:显然F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又F(0)?F(1)?0,故由罗尔定理知:?x0?(0,1),使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x),故F?(0)?0, 于是F?(x)在[0,x0]上满足罗尔定理条件,故存在??(0,x0), 使得:F??(?)?0,而??(0,x0)?(0,1),即证

微分中值定理怎样构造辅助函数)

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键,下面介绍怎样构造的方法,还有附带几个经典例题,希望对广大高数考生有所帮助。先看这一题,已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证在(a,b)中存在ε使f’(ε)=f(ε)证明过程:f’(ε)=f(ε),所以f’(x)=f(x),让f(x)=y,所以11dy?y,即dy?
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