一、填空题
1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; __________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |?(A×A)| = __________________________.
3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝?(P?Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝ _____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.
9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, =________________________.
10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |?(A?B)| = _____________________________.
11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , .
13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.
14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)??xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R?S＝
R12
?(A) - ?(B)＝
_____________________________________________________, R2＝______________________________________________________. 二、选择题
(C)??{{a}}?B?E (D){{a},1,3,4}?B.
(C)对称性
(D)反对称性
1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
(A){2}?A (B){a}?A (A)自反性 (A)下界
2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( ).
(B)传递性 (B)上界
3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。
(C)最小上界 (D)以上答案都不对
4 下列语句中，( )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},
6 5 3 4 2 1 P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)1 0 1 0
则在解释I下取真值为1的公式是( ).
(A)?x?yP(x,y) (B)?x?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x?yP(x,y). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (A)恒真的 (B)恒假的
(C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).
6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝?xP(x), H＝?xP(x),则一阶逻辑公式G?H是( ).
(C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，则G与H的关系是( )。
(A)G?H (B)H?G (C)G＝H (D)以上都不是. (A)A＝B (A)自反性
(B)A?B (B)传递性
(C)B?A
(D)A＝B＝?.
9 设A, B为集合，当( )时A－B＝B.
10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。
(C)对称性 (D)以上答案都不对
11 下列关于集合的表示中正确的为( )。
(A){a}?{a,b,c} (B){a}?{a,b,c} (C)??{a,b,c} (D){a,b}?{a,b,c} (A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对. 13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ).
(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. (A)6 (B)5
(C)10 (D)4.
14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( )条边可以得到树.
12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).
?0?115. 设图G的相邻矩阵为??1??1??1
(A)4, 5 (B)5, 6
三、计算证明题
1111?0100??，则G的顶点数与边数分别为( ).
1011??0101?0110??(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。 2.
设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y?A 且 x ? y}, 求 (1) 画出R的关系图； (2) 写出R的关系矩阵. 3.
设R是实数集合，?,?,?是R上的三个映射，?(x) = x+3, ?(x) = 2x, ?(x) ＝ x/4,试求复合映射???，???, ???, ???，?????.
4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},
a 3
b 2
f (2) 3
f (3) 2
P(2, 2) 0
P(2, 3) 0
P(3, 2) 1
P(3, 3) 1
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) ?x?y P (y, x).
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界. 6. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。
7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式. 9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R) (2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))
13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, c),(b, d),(d, d)}.
(1) 试写出R和S的关系矩阵； (2) 计算R?S, R∪S, R1, S1?R1.
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S＝{(a, b),(b,
四、证明题
1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。 2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).
3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D。 4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：
A－(A∩B) = (A∪B)－B .
《离散数学》试题及答案
