三角函数的图像与性质
考点一 函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0)的图像变换 【必备知识】
1、函数y?sinx的图象经变换得到y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象的两种途径
途径一：函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin(x??)的图象；再将函数y?sin(x??)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1倍（纵坐标不变），?得到函数y?sin(?x??)的图象；再将函数y?sin(?x??)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y?Asin(?x??)的图象．
途径二：函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1倍（纵坐标不变），得?到函数y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移
?个单位长度，得到函?数y?sin(?x??)的图象；再将函数y?sin(?x??)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y?Asin(?x??)的图象． 2、函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的性质： ①振幅：A；②周期：T?2??；③频率：f??；④相位：?x??；⑤初相：?． 2?【典型例题】
【例1】函数f(x)?sin(?x??)(??0,???2)的最小正周期为?，其图像向左平移
?个单位长度后关6于原点对称，则函数f(x)在[0,]上的最小值为（ ）
23311A. ? B.? C. D.
2222?
【例1】函数f(x)?sin(?x??)(??0,???2)的最小正周期为?，其图像向左平移
?个单位长度后关6于原点对称，则函数f(x)在[0,]上的最小值为（ ）
23311B. ? B.? C. D.
2222?【解析】因为函数f(x)?sin(?x??)(??0,??所以??2，所以f(x)?sin(2x??). 将函数f(x)的图像向左平移
?2)的最小正周期为
2????，
?个单位长度后， 6可得函数f(x)?sin[2(x?)??]?sin(2x???)的图像.
63根据所得的图像关于原点对称，可得因为?????3???k?(k?Z)，
?2，所以??-?，所以函数f(x)?sin(2x?) 33?3???2???又因为x?[0,]，所以2x??[?,]，故当2x???，即x=0时，函数f(x)取得最小值?.
2233333故选B.
【类比训练1】 函数y=cos (2x+?)(-π≤?<π)的图象向右平移π个单位长度后,与函数y=sin(2x+π)的图
23象重合,则?= .
【类比训练1】 函数y=cos (2x+?)(-π≤?<π)的图象向右平移π个单位长度后,与函数y=sin(2x+π)的图
23象重合,则?= .
【解析】将y=cos (2x+?)的图象向右平移π个单位长度后得到y=cos[2(x-π)+?]的图象,
22化简得y=-cos (2x+?),又可变形为y=sin(2x+?-π).
2由题意可得?-π=π+2kπ(k∈Z),所以?=5π+2kπ(k∈Z),结合-π≤?<π知?=5π.
2366答案：
5?. 6【类比训练2】已知函数f(x)?sin(?x??)(??0),若f(x)的图象向左平移的图象向右平移
?个单位所得的图象与f(x)3?个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________. 6【类比训练2】已知函数f(x)?sin(?x??)(??0),若f(x)的图象向左平移的图象向右平移
?个单位所得的图象与f(x)3?个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________. 6?个单位所得的图象为 3【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移
y?sin[?(x?)??]?sin(?x???).
33把f(x)的图象向右平移
???????个单位所得的图象为y?sin[?(x?)??]?sin(?x???)， 66根据题意可得y?sin(?x???3??)和y?sin(?x???6??)的图象重合,
故
??3???2k????6??求得ω=4k,故ω的最小值为4.
答案:4
6考点二 求函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0)的解析式 【必备知识】
1、确定y?Asin(?x??)?k(A?0,??0)的解析式的模型解法： (1)求A,k,确定函数的最大值M和最小值m,则A=M?m,k=M?m.
22(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则ω=2π.
T常用的确定T的值的方法有：
∈相邻的两个对称中心或相邻的两条对称轴之间的距离为
T； 2T； 4T； 2∈相邻的一个对称中心与其相邻的一条对称轴之间的距离为∈最高点的横坐标与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为∈相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T； ∈有时还可以从图中看出(3)求?,常用方法有
T3T或的值. 44∈代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
∈五点法:确定?值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=
?; 2“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=
3?; 2“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.
【例2】(1)函数y=Asin(ωx+?)(A?0,??0,???2)的部分图象如图所示,则( )
A.y=sin(x-π) B.y=sin(2x-2π) C.y=cos(4x+π) D.y=sin(2x+π)
33963
【例2】(1)函数y=Asin(ωx+?)(A?0,??0,???2)的部分图象如图所示,则( )
A.y=sin(x-π) B.y=sin(2x-2π) C.y=cos(4x+π) D.y=sin(2x+π)
33963
【解析】由题中图象知,A=1,3T=π-(-5π),所以T=2π=π,所以ω=2.
4312?又当x=π时,y=0,所以0=sin(2×π+?),所以?=kπ-2π,k∈Z.
333当k=1时,?=π,
3所以y=sin(2x+π),故选D.
3
总结：由三角函数图像求y=Asin(ωx+?)(A?0,??0)的解析式，通常由最高点或最低点确定A，由周期确定?，由特殊点确定?.其中对于?的求解，往往需结合题目中给出的?的取值范围.在例2中，给定?的取值范围是??
?2，通过解方程，对k?Z赋值法确定?=π.
3?x??)的部分图象如图所示,则A,?,?的值为( ) 【类比训练1】函数f(x)?cos(A. 1，?， B.?1，?，
44??2， C.1，4
?? D.1，?，?4
?x??)的部分图象如图所示,则A,?,?的值为( ) 【类比训练1】函数f(x)?cos(B. 1，?， B.?1，?，
44C.1，2， 4??? D.1，?，??4
512-）?2,A=1 【解析】.由题图知,周期T=（44所以
2??2,所以ω=π.
?1???由??????2k?,k?Z,得???2k?,k?Z,不妨取??.故选A.
4244
【类比训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,-π
22( )
A. [4k-1,4k+1](k∈Z) B. [4k+1,4k+3](k∈Z) C. [8k-2,8k+2](k∈Z) D. [8k+2,8k+6](k∈Z)
【类比训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,-π
22( )
A. [4k-1,4k+1](k∈Z) B. [4k+1,4k+3](k∈Z) C. [8k-2,8k+2](k∈Z) D. [8k+2,8k+6](k∈Z)
【解析】显然A=3,T=7-3=4,得ω=π,
24所以f(x)=3sin(πx+?),又f(5)=3sin(5π+?)=-3,得?=π,
444所以f(x)=3sin(πx+π),所以g(x)=3sin[π(2x-1)+π]=3sinπx,
44442由不等式2kπ-π≤πx≤2kπ+π,k∈Z,
222解得4k-1≤x≤4k+1,k∈Z,
即函数g(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z).故选A.
考点三 求函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像的周期性、单调性、对称性 【必备知识】
函 数 性 质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ???xx?k??,k???? 2??值域 ??1,1? 当x?2k??ymax?1； ??1,1? 当x?2k??k???时， ymax?1； R ?2?k???时，既无最大值 也无最小值 最值 当x?2k??ymin??1． ?2?k???时，当x?2k????k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 2? 奇函数 2? 偶函数 ? 奇函数 ????在?2k??,2k??? 22???k???上是增函数； 单调性 在?2k???,2k???k???上是增函数； 在?2k?,2k?????k???上是减函数． ????在?k??,k??? 22???3???在?2k??,2k??? 22???k???上是增函数． ?k???上是减函数． 对称中心?k?,0??k??? 对称性 对称轴x?k??对称中心???k??,0??k??? ?2??对称轴x?k??k??? 对称中心?k??,0??k??? ?2??无对称轴 ?2?k???
【例3】已知向量m?(2cos2x,3),n?(1,sin2x)，设函数f(x)?m?n，则下列关于函数y?f(x)的性质的描述正确的是（ ） A.图像关于直线x??12对称 B.图像关于点(5?,0)对称 12C.周期为2? D.在(?
?3,0)上单调递增
【例3】已知向量m?(2cos2x,3),n?(1,sin2x)，设函数f(x)?m?n，则下列关于函数y?f(x)的性质的描述正确的是（ ） A.图像关于直线x??12对称 B.图像关于点(5?,0)对称 12C.周期为2? D.在(?
?3,0)上单调递增
【解析】由题意得f(x)?2cos2x?3sinx?cos2x?3sinx?1?2sin(2x?)?1，
6当x?时，sin(2x?)?sin??1，所以函数f(x)的图像不关于直线x?对称 ； 126312?????当x?5???5?时，sin(2x?)?0,2sin(2x?)?1?1，所以函数f(x)的图像关于点(,1)对称； 1266122???； 2由f(x)的解析式易知函数f(x)的最小正周期T?当x?(?故选D.
?3,0)时，2x??6?(???,)，所以函数f(x)在在(?,0)上单调递增. 263?1、周期的计算公式:
函数y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)(??0)的周期为T?2??,
函数y?Atan(?x??)(??0)的周期为T??求解. ?2、奇偶性的判断方法:
三角函数中奇函数一般可化为y?Asin?x或y?Atan?x的形式， 而偶函数一般可化为y?Acos?x?b的形式.
3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心. 方法：整体处理法、代入验证法
对于函数y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)(??0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x?x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
4、确定函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)单调区间的方法
采用“换元”法整体代换,将‘?x??’看作一个整体,可令“z??x??”,即通过求y?Asinz的单调区间而求出函数的单调区间.若??0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间. 【类比训练】已知函数f(x)?2sin(2x??)(0????),若将函数f(x)的图象向右平移y轴对称,则下列结论中不正确的是( ) A.???个单位后关于65?? B.(,0)是f(x)图象的一个对称中心 612C.f(?)??2 D.x??
?6是f(x)图象的一条对称轴
【类比训练】已知函数f(x)?2sin(2x??)(0????),若将函数f(x)的图象向右平移y轴对称,则下列结论中不正确的是( ) A.???个单位后关于65?? B.(,0)是f(x)图象的一个对称中心 612C.f(?)??2 D.x???6是f(x)图象的一条对称轴
【解析】 函数f(x)?2sin(2x??)的图象向右平移
??个单位,可得g(x)?2sin(2x???)， 63且g(x)?2sin(2x??3??)的图象关于y轴对称,所以??3????2?k?,k?Z，
解得??5?5?5??k?,k?Z，当k=0时可得?? ,故f(x)?2sin(2x?)， 6665?5?5??)?2sin?2, 362所以f(?)?2sin(所以f(?)??2不正确.故选C.
讨论?：
??【例2】已知??0, f?x??sin??x???4??在????，??上单调递减，则?的取值范围是（ ） ?2?A. [15?13? ，? B. [ ，? C. 24?24??1?
2? ?0，? D. (0 ，2??
【例2】已知??0, f?x??sin??x?????4??在????，??上单调递减，则?的取值范围是（ ） ?2?A. [15?13? ，? B. [ ，? C. 24?24??1?
2? ?0，? D. (0 ，2??
真题再现：
1、（2024全国卷II理T·9）下列函数中，以A. f(x)=│cos 2x│ C. f(x)=cos│x│
???为周期且在区间(，)单调递增的是（ ） 242B. f(x)=│sin 2x│ D. f(x)= sin│x│
练习：
1、下列函数中，以A. f(x)=│cos 2x│ C. f(x)=cos│x│
???为周期且在区间(，)单调递增的是（ ） 242B. f(x)=│sin 2x│ D. f(x)= sin│x│
【解析】因为由y?sin|x|图象知，不是周期函数，排除D；因为y?cosx?cosx，周期为2?，排除C，作出y?cos2x图象，由图象知，其周期为
???，在区间(,)单调递增，A正确；作出
422y?sin2x的图象，由图象知，其周期为
2、设函数f?x?=sin（?x????，在区间(,)单调递减，排除B，故选A．
422?）(?＞0)，已知f?x?在?0,2??有且仅有5个零点，下述四个结论： 5∈f?x?在（0,2?）有且仅有3个极大值点 ∈f?x?在（0,2?）有且仅有2个极小值点 ∈f?x?在（0,?）单调递增 101229，) 510∈?的取值范围是[
其中所有正确结论的编号是（ ） A. ∈∈
B. ∈∈
C. ∈∈∈
D. ∈∈∈
2、设函数f?x?=sin（?x??）(?＞0)，已知f?x?在?0,2??有且仅有5个零点，下述四个结论： 5∈f?x?在（0,2?）有且仅有3个极大值点 ∈f?x?在（0,2?）有且仅有2个极小值点 ∈f?x?在（0,?10）单调递增 ∈?的取值范围是[
125，2910) 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ∈∈
B. ∈∈
C. ∈∈∈
【解析】当x?[0,2?]时，?x??5?????5,2?????5??， ∈f（x）在[0,2?]有且仅有5个零点，∈5??2????5?6?， 由5??2????5?6?，知?x??5?????5,2?????5??时， 令?x??5??2,5?2,9?2时取得极大值，∈正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，∈不正确； 因此由选项可知只需判断∈是否正确即可得到答案，
当x????????(??2)???0,10??时，?x?5???5,10??，
若f（x）在????(??2)??0,10??单调递增，则
10??2 ，即?<3 ， ∈
125???2910，故∈正确． 故选：D．
D. ∈∈∈
125???2910，故∈正确， ∈
3、将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[4,4]上单调递增 C.在区间[4,2]上单调递增
5π3π3π5π
πp
B.在区间[4,π]上单调递减 D.在区间[2,2π]上单调递减
3π
3π
3、将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移A.在区间[4,4]上单调递增 C.在区间[4,2]上单调递增
5π3π3π5π
π
?个单位长度,所得图象对应的函数( ) 103π
B.在区间[4,π]上单调递减 D.在区间[2,2π]上单调递减
π
3π
【解析】选A.因为将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移
?个单位长度,得到函数y=sin2x的图象. 10
用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A正确,其他都不正确.
4、设函数f(x)=cos(x+
?),则下列结论错误的是( ) 38?对称 3A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图像关于直线x=
C.f(x+π)的一个零点为x=
???? D.f(x)在?,??单调递减 6?2?4、设函数f(x)=cos(x+
?),则下列结论错误的是( ) 38?对称 3A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图像关于直线x=
C.f(x+π)的一个零点为x=
???? D.f(x)在?,??单调递减 6?2???5?4?????,【解析】选D.当x∈?,??时,x+∈??,函数在该区间内不单调.
3?63??2?
2??5、已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin?2x?3???,则下面结论正确的是( ) ?A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
?个单位长度,得到6?个单位长度,得到121?倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到261?倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到212
2??5、已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin?2x?3???,则下面结论正确的是( ) ?A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
2??【解析】选D.C1:y=cosx,C2:y=sin?2x?3???, ??个单位长度,得到6?个单位长度,得到121?倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到261?倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到212首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cosx用诱导公式处理.
???????y=cosx=cos?x???=sin?x??.横坐标变换需将ω=1变成ω=2,
22?2??????即y=sin?x??2????????y=sin?x??=sin2?x??2?4???
2??y=sin?2x?3?????x?=sin2???. 3???注意ω的系数,在左右平移时需将ω=2提到括号外面,这时x+
??平移至x+, 43根据“左加右减”原则,“x+
????”到“x+”需加上,即再向左平移. 431212?5?6、设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f??8??11?=2,f????8??=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则?( )
11?2?2A.ω=,φ= B.ω=,φ=- 123123111?17?C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
324324
?5?6、设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f??8??11?=2,f????8??=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则?( )
11?2?2A.ω=,φ= B.ω=,φ=- 123123111?17?C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
324324
??5????=2k??1?42?82【解析】选A.由题意?其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)- ,
33?11?????k?2??8又T=
2?21?>2π,所以0<ω<1,所以ω=,φ=2k1π+π,由?<π得φ=. ?31212【非选择题组】
1、设函数f(x)=cos(ωx-6)(ω>0),若f(x)≤f(4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .
π
π
1、设函数f(x)=cos(ωx-6)(ω>0),若f(x)≤f(4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 . 【解析】由已知,当x=4时,f(x)取得最大值,
由三角函数图象与性质,4ω-6=0+2kπ,即ω=3+8k(k∈Z), 又ω>0,所以当k=0时,ω有最小值为3. 答案:3
2、已知函数y=sin(2x+φ)(-2<φ<2)的图象关于直线x=3对称,则φ的值是 .
π
π
π
2
2
π
π
2
π
ππ
2、已知函数y=sin(2x+φ)(-2<φ<2)的图象关于直线x=3对称,则φ的值是 . 【解析】正弦函数的对称轴为2+kπ(k∈Z),故把x=3代入得3+φ=2+kπ(k∈Z),φ=-6+kπ(k∈Z), 因为-2<φ<2,所以k=0,φ=-6. 答案:-6
ππ
π
π
π
π
2π
π
π
πππ
中考数学专题训练三角函数的图像与性质(附解析)(哈市各区各校模拟卷进主页找→)
