高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》
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一 、定义法（最短路径）对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.例1：已知抛物线 ，定点a(3,1)，f 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。: 分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点p到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点a引准线的垂线，垂足q，则 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值。of(1,0) xa(3,1)y q p解： 如图， , 焦点f(1,0) 。 由点a引准线x= -1的垂线 ，垂足q，则
|ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值. . 由 , 得为所求点. 若另取一点 ， 显然 。 [点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.二 、参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例2、已知椭圆 ，直线l： , 椭圆上有一动点p, 求p到直到直线的最小距离.分析：写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值. 解： 由题意可设动点的坐标为， 则点p到直线l的距离为 [点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的
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有界性得出结果。 三 、二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。解：易知 ，所以 设 因为 ，所以x=0, 即点p为短轴的端点时， 有最小值 -2.当[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。 四 、数形结合 在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
一 、定义法（最短路径）对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.例1：已知抛物线 ，定点a(3,1)，f 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。: 分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点p到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点a引准线的垂线，垂足q，则 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值。of(1,0) xa(3,1)y q p解： 如图， , 焦点f(1,0) 。 由点a引准线x= -1的垂线 ，垂足q，则
|ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值. . 由 , 得为所求点. 若另取一点 ， 显然 。 [点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.二 、参数法 利用椭圆、双曲线参数方程
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转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例2、已知椭圆 ，直线l： , 椭圆上有一动点p, 求p到直到直线的最小距离.分析：写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值. 解： 由题意可设动点的坐标为， 则点p到直线l的距离为 [点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。 三 、二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。解：易知 ，所以 设 因为 ，所以x=0, 即点p为短轴的端点时， 有最小值 -2.当[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。 四 、数形结合 在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
一 、定义法（最短路径）对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.例1：已知抛物线 ，定点a(3,1)，f 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。: 分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点p到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点a引准线的垂线，垂足q，则 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值。of(1,0) xa(3,1)y q p解： 如图， , 焦点
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