2024_2024学年高中数学第一章集合与函数1.3.2第1课时函数的奇偶性课时作业含解析新人教A版必修1

课时作业12 函数的奇偶性

时间：45分钟 ——基础巩固类——

一、选择题

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A．y＝x＋1 1

C．y＝

x

B．y＝－x2 D．y＝x|x|

1

解析：y＝x＋1不是奇函数；y＝－x2是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数；y＝在(0，

x

2??x，x≥0，

＋∞)上是减函数，故A，B，C都错．选D.实际上，y＝x|x|＝?画出图象(图略)，

2，x<0，－x??

由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数．

2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( C ) A．(a，f(－a)) C．(－a，－f(a))

B．(－a，f(a)) 1

D．(a，f())

a

解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．∴选C.

3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( A ) A．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

B．偶函数 D．非奇非偶函数

解析：∵F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，定义域为R，∴函数F(x)在R上是奇函数．

4．已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2

B．f(x)≥2 D．f(x)∈R

解析：可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示，由图易知当x<0时，有f(x)≥2.故选B.

5．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f?A．－1 C．1 解析：?1?＝( B )

??1－2?

B．0 D．2

1＋21

＝＝－(1＋2)． 1－2?1－2??1＋2?

∵f(x)是奇函数，

?1∴f??1－

?＝f[－(1＋2)]＝－f(1＋2)． 2??

?

＝0.选B. 2??

?1

∴f(1＋2)＋f?1－?

f?x?－1

6．已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝是( A )

f?x?＋1A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

1

f?－x?－1f?x?－11

解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，∴f(－x)＝>0，∴g(－x)＝＝＝

f?x?f?－x?＋11＋1

f?x?1－f?x?

＝－g(x)，∴g(x)是奇函数． 1＋f?x?

二、填空题

7．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题正确的是②③④.(填序号) ①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；

②若对于任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数； ③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数； ④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．

解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①不对；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③对；

④中若满足 f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．

8．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝－3. 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3.

9．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝－26. 解析：令h(x)＝x5＋ax3＋bx，易知h(x)为奇函数． 因为f(x)＝h(x)－8，h(x)＝f(x)＋8， 所以h(－2)＝f(－2)＋8＝18. h(2)＝－h(－2)＝－18，

所以f(2)＝h(2)－8＝－18－8＝－26. 三、解答题 10．已知函数f(x)＝

1

在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补x2＋1

全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．

1

解：∵f(x)＝2，∴f(x)的定义域为R.

x＋1又对任意x∈R，都有

11

f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

?－x?2＋1x2＋1则f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．

11．判断下列函数的奇偶性． 1

(1)f(x)＝x2＋2；

x

(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；

??x?x－2?，x≥0，

(3)f(x)＝?

?－x?x＋2?，x<0.?

解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋1

＋2＝f(x)，所以f(x)为偶函数． x

(2)奇函数．定义域为R.

1

＝x22

?－x?

又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．

——能力提升类——

12．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( C )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.

13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( C )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.

14．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于1. 解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴1－a＝0，即a＝1. px2＋25

15．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

33x＋q(1)求p，q的值；

(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解：(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)， p?－x?2＋2px2＋2

即＝－. －3x＋q3x＋q

∴－3x＋q＝－3x－q，∴2q＝0，∴q＝0. p×22＋255又f(2)＝，∴＝，

333×2解得p＝2，∴p＝2，q＝0. 2x2＋221

(2)f(x)＝＝(x＋)．

3x3x设1

Δy＝f(x1)－f(x2)＝(x1＋－x2－) 3x1x2x2－x12x1x2－12

＝[(x1－x2)＋]＝(x1－x2)· 3x1x23x1x22x1x2－1＝Δx·. 3x1x2

∵11，∴上式<0，即f(x1)