.... ……………… ………………………………………………… …………………………………………………………… 铁人中学2024级高一学年下学期期末考试
数学试题（理科）
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．过点（0,2）的直线l与圆(x?1)2?y2?1相切，则l的方程为（ ）
A． y?34x?2 B．x?0或y??34x?2 C．y??34x?2 D．x?0或y?34x?22．直线 xcos??y?2?0的倾斜角的取值范围是（ ） A． [??4,?4] B．[0,?4]U[34?,?) C．[0,?4]U[?2,3?4] D．[0,?4]U[3?4,?]3．过点（1,2），且与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为（ ）
A．2x-y=0 B．x-2y+3=0 C．2x+y-4=0 D．x+2y-5=0
4．已知圆C：x2＋y2
＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定
5．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.23?? B. 2333?2? C.23?? D.23?2?
6．设?,?为不重合的两个平面，m,n为不重合的两条直线，有以下几个结论： ○
1m//n,n??,则m//?； ○
2n??,n??,m??,则m??； ○
3???,m??,n??,则m?n； ○
4m??,n??且m//?,n//?,则?//? . 其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知点M(1,0)，P(0，1,)，Q（2，3），过 M 的直线 l(不垂直于x轴)与线段PQ相交，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A．[?1,3] B．[?1,0)U[3,??) C. (??,?1]U[3,??) D．(??,?1]U(0,3] 8．已知点P(2,2)，点M是圆O1:x2?(y?1)2?14上的动点，点N是圆O2)2?y2?12:(x?4上的动点，则|PN|?|PM|的最大值是
A. B. C. D.
9．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2
＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
10．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4,EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( ) A.90° B.45° C.60° D.30°
11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2?y2?1，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x?y?3，并假定将军只要到达军
营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．10?1 B．22?1 C．22 D．10
12.已知圆C：x2?y2?6x?8y?24?0和两点A（-m,0），B（m,0）（m>0），若圆C上存在一
点P，使得uAPuur?uBPuur?0，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．若直线l1:ax+y+1=0与直线l2:2x+(a-1)y+1=0平行，则实数a= .
14．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一球面上,则该球的表面积为 . 15．函数y?ax?2?3(a?0且a?1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4=0上，其中m>0，
n>0，则
2m?1n的最小值为__________ 16． 设f(x)?x2?2ax?2，当x?[?1,??)时，都有f(x)?a恒成立，则a的取值范围是_____
三．解答题（本题共6个小题，共70分）
17. （本题10分）)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线：x?3y?4相切. (1)求圆O的方程；
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23，求直线MN的方程.
18. （本题12分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC； (2)求证：BE⊥D1A.
19.（本题12分）19．（本题12分）Sn为数列{an}的前n项和. 已知
a?0,a2nn?2an?4Sn?3
（1）求{an}的通项公式； （2）设b1n?aa，求数列{bn}的前n项和。 nn?1
20. （本题12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋3
2
＝2cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
21.（本题12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
22．（本题12分）已知数列?an?满足a1?1，an?1?3an?1 n?N?
（1）证明：数列??1??an?2??为等比数列，并求数列?an?的通项公式；
（2）证明：对于?n?N111?，有a?a????3 12an2
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数学答案（理科）
一． 选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A C C B C D A D A B 二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13.-1 14.
a2 15. 3?222 16. [?3,1] 三．解答题（本题共6个小题，共70分）
17.解：(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,
即
r==2,
得圆O的方程为x2
+y2
=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0,则圆心O到直线MN的距离d=.
由垂径分弦定理得
+()2=22
,即m=±,所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.
18. 证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG?平面
EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC?平面D1BC.
∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF?平面EFG， ∴EF∥平面D1BC.
(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE， 平面D1AE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面D1AE，且D1A?平面D1AE， ∴BE⊥D1A.
19.
所以an=2n?1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=
1(2n?1)(2n?3)?12(12n?1?12n?3)，
所以数列{bn}前n项和为b1?b2?L?bn=1111111[(?)?(?)?L?(?)] 从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角． 235572n?12n?3=
116?4n?6. 20. 解：解 (1)根据二倍角公式及题意得2cos2
A＋12＝2cos A，
即4cos2
A－4cos A＋1＝0，∴(2cos A－1)2
＝0，∴cos A＝1
2
. 又∵0 3. (2)根据正弦定理，asin A＝bsin B＝csin C，得b＝23sin B，c＝2 3 sin C. ∴l＝1＋b＋c＝1＋2 3 (sin B＋sin C)，∵A＝π2π3，∴B＋C＝3， ∴l＝1＋2?3?? sin B＋sin??2π?3－B??????＝1＋2sin??π?B＋6? ??， ∵0 ∴l∈(2,3] 21.解： (1)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC， 从而BB1⊥AE. 又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1. 又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1. (2)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE. 因为N和E分别为B1C和BC的中点， 所以NE∥BNE＝1 1B，2B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A， 所以A1N∥AE，且A1N＝AE. 又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1， 在△ABC中，可得AE＝2， 所以A1N＝AE＝2. 因为BM∥AA1，BM＝AA1， 所以A1M∥AB，A1M＝AB. 又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1. 在Rt△A221MB1中，可得A1B1＝B1M＋A1M＝4. 在Rt△AA1N1NB1中，sin∠A1B1N＝A＝1， 1B12 因此∠A1B1N＝30°. 所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°. 22. (1)由a1n＋1＝3an＋1得an＋1＋2＝3? ?1? an＋2???. 又a1322，所以??? a1?313 n1＋＝n＋2??是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＋2＝2，因此数列{an}的 通项公式为a3n－1 n＝2 . (2)证明：由(1)知12 a＝n1. n3－因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1 ， 所以111213n－1≤2×3n－1，即a＝n≤n－1. n3－13 于是111113a＋a＋…＋≤1＋?1?33＋…＋3n－1＝2??1－3n??<2. 12an所以11a＋＋…＋1<3. 1a2an2 another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。other 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的”Such a tall building such an exciting football match so many peopleeach other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。it—it—its—ts—itself we—us—ur—ours—ourselves they—them—their—heirs—themselves人称顺序you, he, she, I ; we, you, they 主格作主语；宾格作宾语，动词和介词之后通常作宾格；形容词性物主代词不能单独使用，通常放在名词之前；名词性物主代词＝形容词性物主代词＋名词，“of＋名词性物主代词”表示所属关系。A friend of mine我的一位朋友; teacher of hers 她的老代词it 的用法：①指代前面提到过的事物。②表天气。③表距离。 ④指婴儿和不明身份的人。 ---John, someone in your class phoned you this morning. ---Oh, who was it? so many people⑤用作形式主语。each other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。It’s kind / good / nice /clever /polite / foolish of sb. to do sth.赠送—初中英语总复习知识点归纳It’s important / necessary / pssible / easy / difficult for sb to do sth, It’s time to get up. It’s time for lunch. It’s one’s turn to do 代词It seems that It takes sb. some time to do sth. １、人称代词、物主代词和反身代—me——min—myself you —you—your—yourself (yourselves) h—him—his—his—himself sh—her—her—hers—herself ⑥用作形式宾语。Find / think / feel + it +adj +to do sthIt one的区别It 特指上文提到的同一对象，同一事物。it—it—its—ts—itself we—us—ur—ours—ourselves they—them—their—heirs—themselvesone同类而不同一。another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。that常用于比较结构中，代替前面提到的名词，以避免重复。other 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的” 反身代词Such a tall building such an exciting football match 构成规则：一、二物主，三为宾。so many people运用：hurt/ teach/ wash / buy/ enjoy oneself each other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。one同类而不同一。other 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的”that常用于比较结构中，代替前面提到的名词，以避免重复。Such a tall building such an exciting football match 反身代词so many people构成规则：一、二物主，三为宾。each other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。运用：hurt/ teach/ wash / buy/ enjoy oneself too much太多的，用法相当于much ，放在不可数名词前。Heath is very important to us. We should eat more vegetables and fruit instead of too much rich food. by / Help oneself (one selves) to --- / Look after oneself / Say to oneself Come to oneselfmuch too太，用法相当于too, 放在形容词和副词前。Keep quiet! It’s much too noisy here.more than 超过，多于。=over ２、不定代词 little, a little, few, a few=several(some), some, any much, too much, much too, more then =over, less than= nearlymore or less 或多或少，差不多。about A little①一点点，表示肯定，用以修饰不可数名词。Only a little 仅一点点.②也可修饰形容词和副词。③一点点，放在动词、动词宾语后。at least至少few几乎没有，表示否定意思，用以修饰可数名词。a lot 许多，修饰动词。Thanks a lot. a few=several 几个，一些，表示肯定意思，用以修饰可数名词。a lot of = lots of 许多的，可修饰可数名词和不可数名词。some 一些，修饰可数名词，后跟复数形式名词或ones,也可修饰不可数名词。在表示请求、委婉语气的疑问句和表示希望得到对方的肯定回答的问句中，常用some. Could you give me some apples? a number of 许多的,= many 只用于修饰复数形式名词，放在可数名词复数前。any 一些，任何一些。一般用于疑问句中或否定句中和F 引导的条件句中。every 用于三个或三个以上，着眼于整体。后可跟数词。词组有every ten minuets much 许多。修饰不可数名词，放在不可数名词前，可用 lot of 替换。each 用于两个或两个以上，着眼于个体。词组有ach oftoo much太多的，用法相当于much ，放在不可数名词前。Heath is very important to us. We should eat more vegetables and fruit instead of too much rich food. either 两个中任何一个eier ----or both 两个都 both ---- and --- much too太，用法相当于too, 放在形容词和副词前。Keep quiet! It’s much too noisy here.both of --- more than 超过，多于。=over neither 两个中一个也没有 e.g. ---Do you like talking with your friends on the telephone or mobile phone? ---Neither, I enjoy using QQ.more or less 或多或少，差不多。about neither --- nor --- any 三个以上中任何一个al三个以上中全部at least至少none 三个以上中一个也没有。 None of --中没有一个，表示三个或以上数目的人或物中没有一个，表否定，作主语时，谓语动词一般用单数。a lot 许多，修饰动词。Thanks a lot. others 表示“泛指”除自己外，别的人。Some ----, others -----a lot of = lots of 许多的，可修饰可数名词和不可数名词。the other 表示两个中的另一个。One ----, the other ----a number of 许多的,= many 只用于修饰复数形式名词，放在可数名词复数前。the others 表示特指的另一些。every 用于三个或三个以上，着眼于整体。后可跟数词。词组有every ten minuets another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。each 用于两个或两个以上，着眼于个体。词组有ach ofother 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的”either 两个中任何一个eier ----or both 两个都 both ---- and --- Such a tall building such an exciting football match both of --- another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。other 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的”Such a tall building such an exciting football match so many peopleeach other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。another 后跟单数名词。表示泛指另一个人。后跟带数词的复数名词，表示“再，还要”的意思。other 别的，另外的，一般后跟复数名词或ones ,在other 前可加some, many 或数词，表示“几个，一些别的”Such a tall building such an exciting football match so many peopleeach other相互，彼此，指两个或两个物时。one another 相互，彼此，指三者或三者以上的彼此。one another’s 相互的，彼此的。
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