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2019届温州市重点中学自主招生模拟试题
数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一.选择题（每题5分，共50分） 1.下列数中不属于有理数的是（ ）
12A.1 B.2 C. D.0.1113
22.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D. 3.如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正 方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形
数”之和．下列等式中， 符合这一规律的是（ ） A、13 = 3+10 B、25 = 9+16 C、49 = 18+31 D、36 = 15+21
4.a、b、c均不为0，若
x?yy?zz?x???abc?0，则p(ab,bc)不可能在（ ） abcD、第四象限
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限
5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），
半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23， 则a的值是（ ）
A、22 B、2?2 C、23+2 D、2?3
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠A=30o，BC=2，将△ABC绕 点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边 上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积 分别为（ ）
A、30，2 B、60，2 C、60，3 D、60，3 27.如图一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开， 拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大
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正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A、
8.抛物线y?x2上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的面积为（ ）． A.1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ.4
49.已知直线y??x?8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是
3OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，则直线AM的函数解析式是( )
m?nmn B、m－n C、 D、 222yBMB/OAx11x?8 B.y??x?8 2311C.y??x?3 D.y??x?3
23A.y??
10.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A、C两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时（ ）．
Ａ.甲在顶点A处 Ｂ.甲在顶点B处 C.甲在顶点C处 Ｄ.甲在顶点D处
二.填空题（每题6分，共36分）
11.分解因式：2x?4xy?2y=________________. 12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y?22k(x?0,k?0) x
的图象经过点A（1, 2），B（m ，n）（m＞1），过点B作 y轴的垂线,垂足为C.若△ABC面积为２，则点B的坐标 为________.
13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均 为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O 点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2
B点的回形线为第2圈，…，依次类推．则第11圈的长 AA3A2A1O为 ．
14.今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆
洞，现将三角板a的30o角的那一头插入三角板b的圆洞
2
内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为 cm（不计三角
2
板的厚度，精确到0.1cm）．
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15.
ab图1如图，等腰梯形MNPQ的上底
长为2，腰长为3，一个
底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD 在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯 形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶 点与Q重合时，点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边 MN、NP、PQ所围成图形的面积是________．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．
现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D
切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan?EFO的值为 ． 三.解答题（共6小题，分别为8,10,10,10,12，14分，共64分） 17.设数列,,,,,,?,,11212312132112k,?,,?，
kk?11问：（1）这个数列第2010项的值是多少？
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？ D C
18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
E （Ⅰ）求?AOD的度数；
O
（Ⅱ）若AO?8cm，DO?6cm，求OE的长． .
A B
19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明． 20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额w（元）的范围 200≤w＜400 400≤w＜500 500≤w＜700 700≤w＜900 … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 …
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2＋30 = 110（元）。
购买商品获得的优惠额设购买商品得到的优惠率?.试问 商品的标价
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
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（2）对于标价在500≤w＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于
1的3优惠率。
21.已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C(xC，yC)作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于
32x． 8C（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同
一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1 ，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2＋h0过点P、Q，抛物线y=a1x2＋h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1(p+1，3)为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．
yyy
ABMM1Q1QFTB
ONN1OP1PEOCxxx G 图1 图2 图322.已知：二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
2
其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）． （1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，
连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，
并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（每题5分，共50分） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 C 10 D 二.填空题（每题6分，共36分）
2211.____2(x?y)______ 12._____（3，）______ 13.______87_______
3............
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14.____14.9____________ 15.7??2 ______ 16.________334_________ 三.解答题（共6小题，共64分）
17.（1）将数列分组：(1),(1,2),(1,2,312121321),?,(k,k?1,?,k1),?
因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016， 所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为
577。 （2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，
所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位， 所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 18.解（Ⅰ）∵AB∥CD， ∴?BAD??ADC?180?． ∵⊙O内切于梯形ABCD，
∴D AO平分?BAD，有?DAO?12?BAD，
C E DO平分?ADC，有?ADO?1O 2?ADC．
∴?DAO??ADO?12(?BAD??ADC)?90?．
A B ∴?AOD?180??(?DAO??ADO)?90?． （Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO?8cm，DO?6cm， ∴由勾股定理，得AD?AO2?DO2?10cm． ∵E为切点，∴OE?AD．有?AEO?90?． M∴?AEO??AOD．
又?OAD为公共角，∴△AEO∽△AOD． ∴
OEOD?AOAD，∴OE?AO?ODAD?4.8cm． 19.如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点.
作出线段AN、DN的中点O1、O2，只要把正方形ABCD沿BO1、AO1O2D剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合N的三角形. 答案不唯一：
H
AEDADE
ABDC FGO
M BCNFBECGBFCG
AGD
E............ AEODBCFF分别
CO2题意
浙江省温州市2018-2019年精品重点中学自主招生模拟数学试题（含答案）
