第4章不定积分
不定积分的概念和性质
【教学目的】：
1. 理解原函数的概念；
2. 理解不定积分的定义，及几何意义； 3. 掌握不定积分的基本公式和性质； 4. 会用直接积分法计算不定积分。 【教学重点】： 1. 原函数的概念；
2. 不定积分的概念及几何意义； 3. 不定积分的基本公式和性质。 【教学难点】： 1. 基本积分公式；
2. 用直接积分法计算不定积分。 【教学时数】：2学时 【教学过程】：
定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即F'(x)?f(x)或
dF(x)?f(x)dx（x?I），那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．
如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无穷多个原函数．
设?(x)是f(x)的另一个原函数，则任意的x?I，有??(x)?f(x)．于是
??(x)?F(x)?????(x)?F?(x)?f(x)?f(x)?0所以?(x)?F(x)?C0(C0为某个常数)这表明
?(x)与F(x)只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式F(x)?C就可以表示f(x)的
全体原函数，也就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合，即函数族?F(x)?C|C?R?．
定义2如果F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，那么F(x)?C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分．即?f(x)dx=F(x)?C．其中符号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量．
由上面的讨论可知，若F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(x)dx=F(x)?C（C为任意常数）．因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．
从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：
由于?f(x)dx是f(x)的原函数，所以[?f(x)dx]'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函数，所以?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C．
由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号?表示)是互逆的，记号?与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．
1例3求?dx．
x解当x?0时，由于(lnx)'?1内，有?dx?lnx?C．
x11，所以lnx是在(0,??)内的一个原函数，因此在(0,??)xx当x?0时，由于[ln(?x)]'?111?(?1)?，所以ln(?x)是在(??,0)内的一个原函数，
x?xx1因此在(??,0)内?dx?ln(?x)?C．
x1把以上结果综合起来，得?dx?ln|x|?C．
x因为不定积分?f(x)dx=F(x)?C是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．
积分曲线族F(x)?C有如下特点：
（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线y?F(x)沿y轴方向上、下平移得到；
（2）由于[F(x)?C]??F?(x)?f(x)，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．
4.1.3基本积分公式表
（1）?kdx?kx?C（k为常数）； （2）?xdx??1x??1?C； ??111xa?C，?exdx?ex?C； （3）?dx?ln|x|?C；（4）?axdx?xlna（5）?cosxdx?sinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C； （7）?（9）?1122dx?cscxdx??cotx?C； dx?secxdx?tanx?C；（8）22???sinxcosx11?x2dx?arcsinx?C；（10）?1dx?arctanx?C； 21?x（11）?cscxcotxdx??cscx?C；（12）?secxtanxdx?secx?C．
4.1.4不定积分的性质
性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．
性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则?kf(x)dx?k?f(x)dx． 例6求?(x3?3x?ex?e3)dx．
解?(x3?3x?ex?e3)dx??x3dx??3xdx??exdx??e3dx
?141xx?3?ex?e3x?C． 4ln3注意到被积函数中x3是幂函数，3x和ex是指数函数，而e3是常数，它们的积分公式是不同的．
【教学小节】：
通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。 【课后作业】：
无
高等数学上册教案不定积分的概念和性质
