高中数学方法篇之配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋)2＋（
12b23b）2； 2a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]
a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋
11212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 x2xx一、再现性题组：
1. 在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
11 A. 14
3. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log (－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
125155 A. （－∞, 54] B. [4,+∞) C. (－2,4] D. [4,3)
5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质am?pam?p＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－11。 二、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 2
3 B. 14 C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则
?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求对角线长x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合形式??4(x?y?z)?24可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的
?2(xy?yz?xz)?11长度之和为24”而得：?。
4(x?y?z)?24?长方体所求对角线长为：x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5 所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
pqqp例2. 设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()2+()2≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
[(p?q)2?2pq]2?2p2q2(k2?4)2?8p4?q4(p2?q2)2?2p2q2p2q2()+()＝＝＝＝22(pq)(pq)24qp(pq)≤7， 解得k≤－10或k≥10 。
又 ∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22
综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者 22≤k≤10。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 例3. 设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(
ababba)1998＋()1998 。 a?ba?bab【分析】 对已知式可以联想：变形为()2＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab 。则代入所求式即得。 【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：()2＋()＋1＝0 ， 设ω＝，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1。
又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，
ab1abab?＝，ω3＝?3＝
baa2999b2999baab19981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ω999＋?ababa?bbaa?b999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：()2＋()＋1＝0 ，解出＝
abbaababba?1?3i后，化2成三角形式，代入所求表达式的变形式()999＋()999后，完成后面的运算。此方法用于只是未
?1?3i联想到ω时进行解题。 2假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝
?1?3i2b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 三、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)2＋(x－b)2 （a、b为常数）的最小值为_____。
2A. 8 B. (a?b)222a?b C. 2 D.最小值不存在
2. α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是
_____。
A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在
高级高中数学方法篇之配方法
