精品文档
第三节 曲面及其方程
[教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图
[教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程 [教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘 [教学过程] 一、问题的提出
在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等
等。那这些曲面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？
二、曲面方程的概念
（一）曲面方程的基本概念
在一般情况下，如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)?0 （1）
有下述关系：
（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）
那么方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形。
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。
（二）建立几个常见的曲面方程
例1 若球心在点M0(x0,y0,z0)，半径为R，求该球面方程。 解：设M(x,y,z)是球面上任一点，那么
M0M?R
222MM?(x?x)?(y?y)?(z?z)0000又 2222故 (x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R （2）
这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么x0?y0?z0?0，从而球面方程为
x2?y2?z2?R2
将（2）式展开得 精品文档
精品文档
222x2?y2?z2?2x0x?2y0y?2z0z?x0?y0?z0?R?0
所以，球面方程具有下列两个特点：
（1） 它是x,y,z之间的二次方程，且方程中缺xy,yz,zx项； （2） x,y,z的系数相同且不为零。
222（三）曲面研究的两个基本问题
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量
x,y,z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基
本问题。
（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。
（2） 已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。 例2 方程x?y?z?4x?y?0表示怎样的曲面？ 解：配方，得
222117(x?2)2?(y?)2?z2?24
171(2,?,0)2所以所给方程为球面，球心为，半径为2。
三、旋转曲面
（一）旋转曲面的定义
一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
（二）旋转曲面的方程
设在yOz坐标面上有一条已知曲线C，它的方程为f(y,z)?0，曲线C绕z轴旋转一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面
设M1(0,y1,z1)为曲线C上一点，则有
f(y1,z1)?0 （3）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1随C绕到另一点M(x,y,z)，这时，z?z1且点M到z轴
22d?x?y?y1
的距离为
22z?zy??x?y1将，1代入（3）式，便得到
f(?x2?y2,z)?0 （4）
这就是所求的旋转曲面的方程。 精品文档
精品文档
22?x?yf(y,z)?0yC由此可知，在曲线的方程中将改成便得曲线C绕z轴旋转
所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y,?x2?z2)?0 （5）
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的
交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角?（
0????2）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点
在原点O，旋转轴为z轴，半顶角为?的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在yOz坐标面上直线L的方程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y改成?x?y，便得到这圆锥面的方程
22z z??x2?y2cot?
或 z?k(x?y) 其中k?cot?。
例4 将xOz坐标面上的双曲线
2222y x x2z2??1a2c2
分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：绕z轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为
x2?y2z2?2?1a2c
绕x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为
x2y2?z2??122ac
四、柱面
（一）柱面的定义
设直线L平行于某定直线并沿定曲线C移动形成的轨迹。 定曲线C叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线。
精品文档
精品文档
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？
（二）柱面的分类
一般地，如果方程中缺z，即f(x,y)?0，它表示准线在xOy坐标面上，母线平行于
z轴的柱面。
方程g(y,z)?0,h(x,z)?0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面方程。
例如，方程y?x，方程中缺z，所以它表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy2y?x面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面
2
例如，方程x?z?0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是xOz面上的直线x?z?0，所以它是过y轴的平面
五、二次曲面 （一）定义
我们把三元二次方程F(x,y,z)?0所表示的曲面称为二次曲面。
（二）举例
（1） 椭圆锥面
x2y2?2?z22ab
① 截痕法：通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法。
以垂直于z轴的平面z?t截此曲面，当t?0时得一点(0,0,0)；当t?0时，得平面
z?t上的椭圆
x2y2??122(at)(bt)
当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当
t从大到小变为0时，这族曲线从大
到小并缩为一点。
②伸缩变形的方法：把空间图形伸缩变形形成新的曲面。
曲面F(x,y,z)?0沿y轴方向伸缩?倍，曲面F(x,y,z)?0的点M(x1,y1,z1)变为点
M?(x2,y2,z2)，其中
x1?x2,y1?1?y2,z1?z2，因为点M在曲面F(x,y,z)?0上，所以
精品文档
精品文档
有F(x1,y1,z1)?0，故
F(x2,1?y2,z2)?0。
x2?y2x2?y2b22?z?z22例如将圆锥面a的图形沿y轴方向伸缩a倍，则圆锥面a即变成x2y22??z2b2椭圆锥面a。
（2） 椭球面
z x2y2z2???1a2b2c2
y O
x x2y2?2?12xOyab把面上的椭圆绕y轴旋转，所得的曲面
x2?z2y2c??12b2方程为a，该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿z轴方向伸缩a便得
椭球面。
（3）双曲面
x2y2z2?2?2?12bc单叶双曲面 a x2y2z2?2?2?12abc双叶双曲面
x2?y2z2x2z2?2?1?2?122cc把xOz面上的双曲线a绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面a，b把此旋转曲面沿y轴方向伸缩a倍，即得单叶双曲面，类似的方法可得双叶双曲面。
（4）抛物面
x2y2?2?z2b 椭圆抛物面 a
z
x
精品文档
O y
(整理)曲面及其方程1.
