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数学归纳法错解分析
由于数学归纳法是一种独特数学方法，在用数学归纳法证明一些数学问题时，最容易出现添项不足或循环论证的错误．下面分析两例．
例1 当n?N*且n≥2时，求证：1＋错解：用数学归纳法
111＋＋…＋n＜n． 232?11111＋=＜2 = 右边，不等式成立。 236111⑵假设n = k (k≥2)时不等式成立，即1＋＋＋…＋k＜k，则当n = k
232?1⑴当n = 2时，左边=1＋＋1时，
1＋
11111＋＋…＋k＋k?1＜k＋k?1＜k＋1， 232?12?12?1故当n = k＋1时不等式成立，
综上所述，对n?N*且n≥2，不等式1＋
111＋＋…＋n＜n成立． 232?1错因分析：在数学归纳法的证明过程中，是由命题P(k)为真来证明P(k＋1)为真，即把命题中的n由k变到k＋1，而不是简单地加上
正确解法：⑴当n = 2时，左边=1＋
12k?1?1。
1111＋=＜2 = 右边，不等式成立。 236111⑵假设n = k (k≥2)时不等式成立，即1＋＋＋…＋k＜k，则当n = k
232?1＋1时，
1＋
111111＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k?1＜k＋2322?12?22?111??2k2k?12k项11?k?1＜k＋k?k?2?1222k项112k?k= k＋k= k＋1． 22故当n = k＋1时不等式成立，
综上所述，对n?N*且n≥2，不等式1＋
111＋＋…＋n＜n成立． 232?1例2 在数列{an}中，已知an＞0，它的前n项和为Sn，且满足
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4Sn4S14S2
++ … + = Sn， a1?2a2?2an?2⑴求a1 ，a2，a3的值；
⑵据⑴的结果猜测an的表达式，并用数学归纳法证明之． 错解一：⑴当n = 1时，a1= 2，
当n = 2时，
4?24(2?a2)+=2?a2，注意到a2＞0，解得a2= 4， a2?22?24?24(2?4)4(2?4?a3)++=2?4?a3，注意到a3＞0，解
a3?22?24?24S14a1= S1，即= a1，再注意到a1＞0，解得a1?2a1?2当n = 3时，得a3= 6．
⑵根据a1= 2，a2= 4，a3= 6，猜测an= 2n． 证明：①当n = 1时，a1= 2×1，猜想成立．
②假设n = k (k≥2)时，猜想成立，即ak= 2k，则当n = k + 1时，
4Sk?14Sk4S14S2
++ … + + = Sk?1．㈠ a1?2a2?2ak?2ak?1?24Sk?14Sk4S14S2又++ … + = Sk，∴Sk+= Sk?1， a1?2a2?2ak?2ak?1?2∵ak= 2k，∴Sk= k(k + 1)且Sk?1= (k + 1)(k + 2)，把Sk、Sk?1代入㈠式，得： k(k + 1) +
4(k?1)(k?2)= (k + 1)(k + 2)，
ak?1?24(k?2)= k + 2，即有2(ak?1+ 2) = 4(k + 2)，解得ak?1=
ak?1?2消去(k + 1)，得k +2(k + 1)．
所以，当n = k + 1时，猜想亦成立，
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综合⑴、⑵知，对所有的自然数，都有an= 2n成立． 错解二：⑴由错解一解得a1= 2，a2= 4，a3= 6． ⑵根据⑴猜测an= 2n．
证明：①当n = 1时，a1= 2×1，猜想成立．
②假设n = k (k≥2)时，猜想成立，即ak= 2k，有当n = k + 1时，若ak?1= 2(k + 1)，
则
4Sk?14(Sk?ak?1)4Sk4S14S2
++ … + + = Sk+ = k(k + 1) a1?2a2?2ak?2ak?1?2ak?1?2+
4(k?1)(k?2)= k2+ 3k + 2．
2(k?1)?2而Sk?1= Sk+ ak?1= k(k + 1) + 2(k + 1) = k2+ 3k + 2． ∴Sk?1与ak?1仍适合等式∴ak?1= 2(k + 1)．
即当n = k + 1时，猜想亦成立，
综合⑴、⑵知，对所有的自然数，都有an= 2n成立．
错因分析：以上两种解法的错误在与把待证明的式子Sk?1= (k + 1)(k + 2)和ak?1= 2(k + 1)当作已知条件来代入待证明的等式，违反了推理的基本准则，犯了循环论证的错误．
正确解法：⑴由前面错解得a1= 2，a2= 4，a3= 6． ⑵根据⑴猜测an= 2n．
证明：①当n = 1时，a1= 2×1，猜想成立．
②假设n = k (k≥2)时，猜想成立，即ak= 2k，则当n = k + 1时，
4Sk?14Sk4S14S2++ … + + = Sk?1． a1?2a2?2ak?2ak?1?2打印版
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