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《分式方程》的“非常”解法
解分式方程的一般思路通常是方程两边同乘以最简公分母，转化为整式方程解决.但是对于某些分式方程，用常规解法很麻烦或无法求解;此时必须认真观察、仔细分析方程特点，运用数学方法加以探索创新，找到最简方法.达到发展思维，开拓创新，灵活求解的目的. 一、换元法
例1 解方程
12?x??2009. x?33?x分析 方程中所有未知数的系数相同，并且分母互为相反数，故可考虑单参换元. 解 设x?3?y，则x?2?y?1，则原方程可变为
1y?1??2009,即yy11??2010,0?2010，结论显然是矛盾的，所以原方程无解. yy3x2?8x?33x2?8x?9?2例2 解方程2.
x?4x?11x?4x?13分析 方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同，故可考虑运用双参换元法.
2 解 设3x?8x?3?y，x?4x?11?z,则原方程变形为
2yy?6，即?zz?2yz?2y?yz?6z，所以y?3z，即3x2?8x?5?3(x2?4x?11),解得x??7.
经检验，x??7是原方程的解. 二、特殊套用法
3xx?11??2. x?13x21113xx?1分析 若分式方程为x??a?，则其解为x1?a,x2?.本题中与,2与
xaax?13x111分别互为倒数，符合方程x??a?的特点，故可用此结论解答. 2xa3xx?113x??2?,设?y，此时原方程变形 解 原方程变形为
x?13x2x?1例3 解方程为:y?1113x3x11?2?,?y?2或y?.即?2或?，解得:x1??2,x2??.经检y22x?1x?125验得: x1??2,x2??例4 解方程
11都是原方程的解.?原方程的解为x1??2,x2??. 551111??????10. x?10(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?9)(x?10)
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分析 我们知道,
111??, 故本题可套用此公式化简.
(m?1)(m?2)(m?1)(m?2)解 原方程变形为
11111111?????????10,即?10，解得x?10x?1x?2x?2x?3x?9x?10x?199x??.经检验x??是原方程的解.
1010三、倒数法
111?2，则x2?2= . x2x1111分析 已知条件中，x,互为倒数2?2?，其中2,互为倒数关系，利用此关系，
x222例5 已知x?可有下面解法.
111111?2?,?x?2,或x?,?x2?2?4??4. x22x442x?13x?217例6 解方程??.
3x?22x?14解 x? 分析 方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，
解 设
3x?212x?1?. ?y,则
2x?1y3x?2111?4?,?y?4或y?. y44
原方程变形为y?2x?19?4，解之得x1??;
3x?21012x?116当y?时，则?，解之得x2?.
43x?24596经检验x1??,x2?是原方程的根.
105当y?4时，则四、构造法
例7 解方程x?x?2110?. x2?x311?k?型的方程来求解，xk 分析 此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为x?而不用常规解法.
解 原方程可化为:x?x?211?3?. x2?x31?x2?x?3或x2?x?.
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解之得:x1,2??1?1311,x3,4???21. 226?1?1311,x3,4???21均是原分式方程的根. 226经检验: x1,2? 五、局部通分法
例8 解方程
x?3x?4x?6x?7. ???x?4x?5x?7x?8分析 该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法.
解 方程两边分别通分并化简，得:
11?.
(x?4)(x?5)(x?7)(x?8) 去分母得: (x?4)(x?5)?(x?7)(x?8) 解之得:x?6，经检验: x?6是原分式方程的根.
点拨 此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性.但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分.
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