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第一章热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数。
解：已知理想气体的物态方程为
pV
nRT,
,压强系数和等温压缩系数
（1）
由此易得
1V
1p1
T
VT
pT
Vp
nRpV
nRpV1
1T
1T
,
（2）（3）
1p
,
Vp
T
nRTp
2
VV
.
（4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量由实验测得的体胀系数
及等温压缩系数
lnV=
αdT
T,p的物质，其物态方程可
，根据下述积分求得：
κTdp
如果
1T
,
1
T
p
，试求物态方程。
解：以T,p为自变量，物质的物态方程为
V
VT,p,
其全微分为
dV
VT
p
dT
Vp
T
dp.
（1）
全式除以V，有
dVV
1V
VT
p
dT
1V
Vp
T
dp.
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根据体胀系数和等温压缩系数
dVV
dT
T
的定义，可将上式改写为
（2）
T
dp.
上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnV
dT
T
dp.
（3）
若
11
T
,
T
p
，式（3）可表为
lnV
1dT1
T
p
dp.选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到T,p0
，再积分到（相应地体
积由V0最终变到V，有
lnVV=ln
Tln
p,
0
T0
p0
即
pV
p0V0T
TC
（常量），
0
或
pV
CT.
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T,4）
p），
5）
（（此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
式（5）就是由所给进一步的实验数据。
1T
,
1
T
p
求得的物态方程。确定常量C需要
1.3 在0oC和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
4.8510K和10C。问：
o
5
1
T
7.810
7
pn.
1
和
T
可近似看作常量，今使铜
块加热至
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
解：（a）根据1.2题式（2），有
dVV
dT
T
dp.
（1）
dV，温度差dT和压
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，
dp
T
dp与dT的关系为
（2）
dT.
在和
T
可以看作常量的情形下，将式（
p2
p1
T
2）积分可得
（3）
T2T1.
将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（
3）。但是应当强调，只要
初态V,T1和终态V,T2是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。际过程一般不会是准静态过程。
本题讨论的铜块加热的实
在加热过程中，铜块各处的温度可
3）。
以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（
将所给数据代入，可得
p2
p1
4.85107.810
57
10622pn.
因此，将铜块由0oC加热到10oC，要使铜块体积保持不变，压强要增
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强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
VV1
T2
T1
T
p2p1.
（4）
将所给数据代入，有
VV1
4.8510
5
107.810
7
100
4.0710.
4
因此，将铜块由0C加热至10C，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.0710倍。 1.4
简单固体和液体的体胀系数
和
T
4
oo
和等温压缩系数
T
数值都很
小，在一定温度范围内可以把体的物态方程可近似为
V(T,p)
看作常量. 试证明简单固体和液
T
T0
p.
V0T0,01
T
解: 以T,p为状态参量，物质的物态方程为
V
VT,p.
根据习题1.2式（2），有
dVV
dT
T
dp.
（1）
和
T
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在情形下，有
lnVV0
T
T0
T
可以看作常量的
p
p0,
（2）
或
VT,p
VT0,p0e
TT0
T
pp0
.
（3）
和
T
考虑到有
和
T
的数值很小，将指数函数展开，准确到的线性项，
（4）
VT,p
VT0,p0
1T
T0
T
p
p0
.
如果取p0
0，即有
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VT,p
VT0,01
T
T0
T
p.
（5）J，物态
1.5 描述金属丝的几何参量是长度方程是
fJ,L,T
n
L，力学参量是张力
0
实验通常在1p下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
1L
LT
J
等温杨氏模量定义为
Y
LA
JL
T
其中A是金属丝的截面积，一般来说，金属丝两端固定。试证明，当温度由
J
YA
T2
和Y是T的函数，对J时，其张力的增加为
仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设
1
降至
T1
2
解：由物态方程
fJ,L,T
0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
LT
J
TJ
L
JL
T
1.
（2）
所以，有
JT
L
LT
J
JL
T
ALY
LAY.
（3）
积分得
J
YA
T2
T1.
（4）
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过
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热力统计学第一章答案word版本
