初中数学竞赛辅导资料
动态几何的定值
甲内容提要
1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系. 用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如：
① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； ② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点
距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；
③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长
定理等等.
2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化
而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：
半径等于RA的圆A与半径为RB (RB>RA) 的定圆B内切.那么：
动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆. 而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA.
若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).
即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA .
所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA. 3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：
① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. ② 再证明它能成立.
探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明. 乙例题
例1. 已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F. 求证：PE＋PF有定值. 分析：（探求定值）用特位定值法.
① 把点P放在BC中点上. 这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A， PE＋PF＝2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍. 因此原题可转化： F 求证：PA＋PB＝2AD （AD为底边上的高）.
A 证明：∵AD∥PF，
PEBPPFCPCD＋PD＝＝＝； . ADBDADCDBDPEPFBPCD＋PD2BD＋＝＋＝＝2. ∴
ADADBDBDBD∴
E B P D C 即
A ∴PE＋PF＝2AD.
② 把点P放在点B上.
这时PE＝0，PF＝2AD（三角形中位线性质）， 结论与①相同.
P 还可以由PF＝BC×tanC，把定值定为：BC×tanC. B C 即求证PE＋PF＝BC×tanC. （证明略）
同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可. 例2. 已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上
求证：PA2＋PB2有定值.
分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. ① 点P放在直径AB上.
得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）. ② 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上 也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.
B BB
OOO
P PP
AAA
证明： 设∠POA＝α，根据余弦定理，得
PA2＝R2＋r2－2RrCosα， PB2＝R2＋r2－2RrCos(180?－α). ∵Cos(180?－α)＝Cosα.
∴PA2＋PB2＝2（R2＋r2）.
本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R, r的关系式，关键是引入参数α.
例3. 已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.
求证：
PE＋PF＝2. ADF 11＋有定值， BFCE分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a, b, c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明. A证明：设MP为t, 则NP=
∵MN∥BC，
1a－t. 2FMctPFCENMPMFNPNE??∴， . BCBFBCCEBa11BF?ccta?ta?t12?即?； ?2??1aBFaBFBFac211111a?tCE?ba?tba?t122?2 ??2?2?1aCEaCECEab21a?t?a?t1132∴=＋?
M1BFCEccac23∵c 是定线段，∴是定值. Bc113即有定值. ＋BFCEcAFtPFCENa例4. 已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C. 求证：∠ACB有定值. 分析： ⊙M是△ABC的内切圆，∠AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周
角，它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=所求定值可用它来表示.
证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180?－∠AMB，
∵M是△ABC的内心，
∴∠CAB+∠CBA=2(180?－∠AMB). ∴∠ACB=180?－（∠CAB+∠CBA）
=180－2(180－∠AMB) = 2∠AMB－180.
由正弦定理
???AB)， 2RjCMBAABAB?2R， ∴Sin∠AMB=.
Sin ?AMB2R∵弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，
∴∠AMB有定值.
∴∠ACB有定值2∠AMB－180.
?丙练习63
1. 用固有的元素表示下列各题中所求的定值 (不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________. ②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿. ③.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
④.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它们的度数和是________，延长凸n边形 (n≥5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是___________. (2001年希望杯数学邀请赛初二试题) ⑤.两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，
则
AC有定值是_____________. .AD ⑥.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，
则AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
⑦.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，
PB分别交AB的中垂线于E，F.则OE×OF有定值是__________.
2. 已知：点P是⊙O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45?.求证：PC2+PD2有定值.
3. 已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PD
⊥BA交BA延长线于D，PE⊥AC交AC的延长线于E. 求证：∠DOE是定角
4. 已知：点P是线段AB外一点，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中点.
求证：CH+DH是定值.
5. 已知：AB，CD是⊙O的两条直径，点P是⊙O上任一点(不含A，B，C，D). . 求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.
6. 经过∠XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.
7. △ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100， 记mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,……,100).
则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿. (1990年全国初中数学联赛题)
8.. 直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，①BCPQ为平行四边形？等腰梯形？②PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？
练习63
1 ①腰上的高. ②一边上的高或3r3 . ③ nrn. ④ 180度，(n－4)180度. ⑤两圆半径比. ⑥AB2 ⑦⊙O的半径的平方.
2. 定值是AB平方的一半， 证Rt△COM≌Rt△OBD， OM=DN.
3. 定值是直角， 以PA为直径的圆经过A，O，E，P，D五点， PE=AD， ∠AOD=∠POE .
4. 定值是AB的一半，证明 仿例3.
5. 定值是⊙O的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4. 6. 定值是
1112Cos???(∠xoy=2α)，证明 作AR∥OQ交Dx于R，. OQOPAROA7. 4×100.
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