数列求和的解题方法及技巧
研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列
公式法：⑴等差等比的求和公式（略）
⑵①1+2+…+n=n(n+1) ②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) ③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2
预热：1、求等差数列 -3，-1，1，3，…的前n项的和。2、求数列1，2，4，…，2n的和
141216?1,n?13、求等比数列1,x,x2,…,xn-1的和 4、若a??求数列的前n项的和
4n?2,n?2?在应用公式求等差、等比数列的和时，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式
典型例题 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an) （区分q值，分a=1和a≠1讨论） 除此之外，还有一些特殊的数列也可以通过一些方法来求数列前n项的和
一、分组求和法：若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}{cn}可求出前n项和Sn+Tn。
1111例：1、求数列1,3,5,?,(2n?1?n)的前n项的和 2、求数列9,99,999,?的前n项的和
2482练习：1、求数列?1,3,?5,7,?,(?1)n?(2n?1)的前n项的和（也可用并项求和法） 2、求数列1,1?2,1?2?22,1?2?22?23,?,1?2???2n?1的前n项的和
1113、求数列(x?)2,(x2?2)2,?,(xn?n)的前n项的和（世纪金榜第39页例10类似）
xxx二、裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.常见拆项公式有：
①
11111111111??，??(?)，??(?),?
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111?(?)
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)②n?n!?(n?1)!?n! ③
1n?1?n?n?1?n,?1a?b?1(a?b),(a?b) a?b例：1、求和Sn?111111????????。2、求和Sn? 1?22?3n(n?1)1?33?5(2n?1)(2n?1)?(n?1)2?1?1111,,,?,3、数列?的前n项的和。4、求的前n项的和 ?21?21?2?31?2?3???n?(n?1)?1???2练习：1、求数列??的前n项的和。
?n?1?n?三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相
减.
例 等比数列求和公式的推导.
1352n?1例 1、求数列,,,?,n的前n项的和。2、求数列1,2x,3x2,4x3,?,nxn?1的前n项和。
2482练习 已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12,
求数列 {an} 的通项公式，(2)令bn=an?3n, 求数列{bn} 前n项和的公式。（3改成x呢？） 析：an=2n.
3(1?3n)Sn??n?3n?1，3改成x后要对x进行讨论是否为1
2四、倒序求和法：将数列的倒数第k 项(k=1, 2, 3, …)变为正数第 k 项, 然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等). 例 等差数列求和公式的推导.
例 已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn, 求 Sn.
n(n?1)n(n?1)析 倒序求和法Sn?lg(xy)?a。或对数的运算性质求解
22练习 世纪金榜P40例14
五、分段求和法：如果一个数列是由具有不同特点的两段构成，则可以考虑利用分段求和。
2例 求等差数列200，199，…，-100的后400项的绝对值之和。
3n?301易知an?，令an?0可得n≥301,所以
3Sn?a1?a2?a3???a400??(a1?a2?a3???a300)?(a301???a400)?16700 练习： 世纪金榜P40例14 练习：
11111、求1,4,7,?,[(3n?2)?n]的前n项的和
24822、设ak=12+22+32+…+k2，则数列
357,,,?的前n项的和Sn。 a1a2a31111113、求和Sn?1?(1?)?(1??)???(1?????n?1)
2242424、求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 项和 Sn.
5、数列{an}中，an?212n，又bn?，求数列{bn}的前n项和。 ????an?an?1n?1n?1n?16、已知递增的等比数列 {an} 前 3 项之积为 512, 且这三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列, 求数列 {7、求数列2,n} 的前 n 项和. an222的前n项的和 ,,?,1?21?2?31?2?3???n答案：1、裂项求和，6n/(n+1) 3 、分析an =2－1/（2n-1）分组法 4、分析ak=2k3+3k2+k再用分组法 5、同3、4。
6、错位相减法 7、分析通项后裂项相消法
数列求和的解题方法及技巧
