圆锥曲线大综合
第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题
一．常考题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题
题型十：范围为题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y?kx?m，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）
二．热点问题
1.定义与轨迹方程问题
2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题
8.定值，定点，定直线问题
第二部分 知识储备
一． 与一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)相关的知识（三个“二次”问题）
1. 判别式：??b2?4ac
2. 韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不等的实数根x1,x2，则
2x1?x2??bc，x1?x2? aa23. 求根公式：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不等的实数根x1,x2，则
?b?b2?4acx1,2?
2a二．与直线相关的知识
1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式
2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：y?tan?，??[0,?)；
②点到直线的距离公式：d?Ax0?By0?CA?B22（一般式）或d?kx0?y0?b1?k22 （斜截式）
3. 弦长公式：直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：
AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2](或AB?1?4. 两直线l1:1y1?y2) k2y1?k1x1?b1,l2:y2?k2x2?b2的位置关系：
① l1?l2?k1?k2??1 ②l1//l2?k1?k2且b1?b2
5. 中点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若点M?x,y?线段AB的中点，则
x1?x1y?y2 ,y?122三．圆锥曲线的重要知识
x?考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线
1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程
②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等
2b22b24. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆，双曲线，抛物线2p
aa②焦点三角形的面积：p在椭圆上时SF1PF2?b2?tan?2
p在双曲线上时SF1PF2?b2/tan?2
四．常结合其他知识进行综合考查
1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系
2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识
3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等
五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆
例1.（本小题共14分）
3x2y2已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?
3ab（Ⅰ）求双曲线C的方程；
l与双曲线C（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，
交于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值…
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
22?a23???c3，解得a?1,c?3，
（Ⅰ）由题意，得??c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?2222222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，
圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2.
x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22222由?及x0?y0?2得?3x0?4?x?4x0x?8?2x0?0， 2?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2222∴3x0?4?0，且??16x0?43x0?48?2x0?0，
????设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4∵cos?AOB?OA?OBOA?OB，且
OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?12?x0x1??2?x0x2?， 2?y0?x1x2?12?4?2x0?x1?x2??x0x1x2?2?? 2?x02222?x08?2x0??8?2x08x01??4?2? ?2??223x0?42?x03x?43x?4??00??228?2x08?2x0??2?2?0.
3x0?43x0?4∴ ?AOB的大小为90.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
22（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，圆在点P?x0,y0?处的切线方
??2y2x?1?x?22程为y?y0??0?x?x0?，化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?22y0?xx?yy?20?0得
?3x?3x20242?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ①
2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②
2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90.
22222（∵x0?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和
?方程②的判别式均大于零）.
x2y2?1?t?0?的左顶点，直线l:x?my?1(m?R)与椭练习1：已知点A是椭圆C:?9t圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B.且当m?0时，△AEF的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；
16. 3（Ⅱ）设直线AE，AF与直线x?3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由.
（2）圆锥曲线与图形形状问题
x2例2.1已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
x22
解：(1)椭圆W：＋y＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
4因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
312
＋m＝1，即m＝?.
2411所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝3.
22所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
?x2?4y2?4,222
由?消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. ?y?kx?m设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
x1?x2y1?y2x1?x24kmm，. ???k??m?2221?4k221?4km??4km,所以AC的中点为M??. 22??1?4k1?4k?1因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为?.
4k?1?因为k·???≠－1，所以AC与OB不垂直．
?4k?则
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
x2y2练习1：已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和
ab一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设M（x,y)是椭圆C上的动点，P（p,0)是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.
（自己整理）圆锥曲线常考题型总结 - 配有大题和练习
