专题09三角函数的概念,诱导公式与三角恒等变换(解析版)
考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换历来都是高考热点问题之一,题型一般为选择题或填空题,难度为基础题或中档题. 易错点1：不能正确理解三角函数的定义
当角的终边在一条直线上时,应注意到角的终边为两条射线,所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误.根据已知条件确定角的大小,没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解.
易错点2：单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强,另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来,产生概念性的错误.
易错点3：不熟悉常数 “1”的代换
1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?cot??tan为1的代换.
易错点4：易遗忘关于sin?和cos?齐次式的处理方法
?4?sin?2?cos0这些统称
弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次． 易错点5：不能准确运用诱导公式进行化简求值
三角化简的通性通法---奇变偶不变,符号看象限(切化弦,降幂公式,用三角公式转化出现特殊角 异角化同角,异名化同名,高次化低次)；
易错点6：没有挖掘题目中的确隐含条件,忽视对角的范围的限制而造成增解现象； 易错点7：不重视弧度制下弧长公式和扇形面积公式的记忆(l?|?|r,S扇形?题组一：三角函数的定义
1．(2014新课标Ⅰ)若tan??0,则( )
1
1lr). 2A．sin??0 B． cos??0 C． sin2??0 D． cos2??0 【解析】 tan??0知?的终边在第一象限或第三象限,此时sin?与cos?同号,
故sin2??2sin?cos??0,选C．
2．(2011新课标)已知角?的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y?2x上,则cos2?=( ) A．?45 B．?35 C．35 D．45 【解析】由角?的终边在直线y?2x上可得,tan??2,
cos2??cos2??sin2??cos2??sin2?cos2??sin2??1?tan2?1?tan2???35．故选B
题组二：化简所给式子求值
3．(2018全国卷Ⅰ)若sin??13,则cos2??( ) A．89 B．79 C．?789 D．?9
【解析】cos2??1?2cos2??1?2?(1273)?9．故选B．
4．(2016年全国III)若tan??324 ,则cos??2sin2?? ( )
A．
6425 B．4825 C．1 D．1625 【解析】由tan??sin?cos??34,cos2??sin2??1,得sin??345,cos??5或 sin???35,cos???4245,所以sin2??2sin?cos??25, 则cos2??2sin2??1625?4825?6425,故选A． 41?tan?5．(2010新课标)若cos???5,?是第三象限的角,则
2? 1?tan?2
2
A．?12 B．
12 C．2 D．-2
【解析】 ∵cos???45,且?是第三象限,∴sin???35,
1?tan?cos????sin?∴
?2?2?sin2(cos?2)21?tan??2??
2cos?2?sin?2(cos2?sin2)(cos2?sin2)?1?sin?1cos2??sin2???sin?cos???12．故选A
226．(2013新课标Ⅰ)已知sin2??22?3,则cos(??4)?( )
A．16 B．1123 C．2 D．3
??【解析】因为cos2(???1?cos2(??4)1?cos(2??2)4)?1?sin2?2?2?2,12所以cos2(???1?sin2??4)?2?32?16,选A. 7．(2013新课标Ⅰ)设?为第二象限角,若tan???????4???12,则sin??cos?=___．【解析】∵tan??????114???2,可得tan???3,∴sin??110,cos???2?10, sin??cos?=?105．故答案为?105 题组三：先化简条件求值 8.(2019全国Ⅰ理10)已知α∈(0,
?2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=
A．
15 B．
55 C．
33 D．
255
【解析】由2sin2??cos2??1,得4sin?cos??2cos2?. 因为????π??0,2??,所以cos??2sin?. 由??cos??2sin?,得sin??5?sin2??cos2??15.故选B.
3
9．(2016年全国II)若cos(?4??)?35,则sin2??( ) A．725 B．1175 C．?5 D．?25
【解析】因为cos???3?4??????22(sin??cos?)?325,所以sin??cos??5, 所以1?sin2??1825,所以sin2???725,故选D． 题组四：化一求值
10．(2015新课标Ⅰ)sin20ocos10o?cos160osin10o?( )
A．?32 B．32 C．?12 D．12 【解析】原式=sin20ocos10o?cos20osin10o?sin(20o?10o)?sin30o?12 11．(2014新课标Ⅰ)设??(0,?2),??(0,?2),且tan??1?sin?cos?,则 A．3?????2 B．2?????2 C．3?????2 D．2?????2
【解析】由条件得
sin?cos??1?sin?cos?,即sin?cos??cos?(1?sin?), 得sin(???)?cos??sin(?2??),又因为??2??????2,0??2????2,
所以?????2??,所以2?????2．
12．(2018全国卷Ⅰ)已知函数f(x)?2sinx?sin2x,则f(x)的最小值是_____． 【解析】解法一 ：因为f(x)?2sinx?sin2x,
所以f?(x)?2cosx?2cos2x?4cos2x?2cosx?2?4(cosx?12)(cosx?1),由f?(x)≥0得
12≤cosx≤1,即2k????3≤x≤2k??3,, 由f?(x)≤0得?1≤cosx≤1?2,即2k??3≤x≤2k???
或2k???≤x≤2k???3,k?Z,
所以当x?2k???3(k?Z)时,f(x)取得最小值,
4
且f(x)min?f(2k?????33)?2sin(2k??)?sin2(2k??)??． 3332解法二：因为f(x)?2sinx?sin2x?2sinx(1?cosx), 所以[f(x)]?4sinx(1?cosx)?4(1?cosx)(1?cosx)
222343(1?cosx)?(1?cosx)?(1?cosx)?(1?cosx)427, ≤?[]?3441当且仅当3(1?cosx)?1?cosx,即cosx?时取等号,
2272所以0≤[f(x)]≤,
4所以f(x)的最小值为?
33． 2
13．(2018全国卷Ⅱ)已知sinα?cosβ?1,cosα?sinβ?0,则sin(α?β)?___． 【解析】∵sinα?cosβ?1,cosα?sinβ?0,
∴sin??cos??2sin?cos??1 ①,
22cos2??sin2??2cos?sin??0 ②,
①②两式相加可得
sin2??cos2??sin2??cos2??2(sin?cos??cos?sin?)?1,
∴sin(???)??1． 2214．(2017新课标Ⅰ)函数f(x)?sinx?3cosx?【解析】化简三角函数的解析式,则
3?(x?[0,])的最大值是 ． 42f?x??1?cos2x?3cosx?3231)?1, ??cos2x?3cosx???(cosx?2443时,函数f(x)取得最大值1． 2由x?[0,]可得cosx?[0,1],当cosx??215．(2014新课标Ⅰ)函数f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值为____． 【解析】f(x)?sin[(x??)??]?2sin?cos(x??)
5
专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换(解析版)
