第4讲 直线与圆的位置关系
1．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )
63A. B. 229
C. D．2 3 4
2．(2018年河北衡水中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 31 B．9 21 C．10 23 D．9 11 3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
4．(2018年新课标Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[2，3 2] D．[2 2，3 2]
→→
5．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB→
＋PC|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9 6．(多选)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是( )
A．3 B．5 C．7 D．9
7．(2016年新课标Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝____________.
8．若函数f(x)＝1－x2－x－m有两个零点，则实数m的取值范围为________．
9．若自点P(－3,3)发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则直线l的方程为____________．
10．(2015年新课标Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围； →→(2)OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
11．(2018年湖南东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，
圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点Α，Β. (1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段ΑΒ的中点Μ的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
第4讲 直线与圆的位置关系
1．C 解析：由圆C1与圆C2相外切，可得?a＋b?2＋?－2＋2?2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
a＋b?29
根据基本(均值)不等式可知ab≤??2?＝4，当且仅当a＝b时等号成立．故选C.
2．C 解析：易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2，∴最短弦的长为2 r2－|PC|2＝2 25－2＝2 23，故所求四边形的面积S1
＝×10×2 23＝10 23.故选C. 2
3．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y－1＝k(x－3)，变形可得kx－y＋1－3k＝0.
|k＋1－3k|4
由圆心(1,0)到切线的距离d＝＝1，得k＝或k＝0.联立切线与圆的方程可得切点A，
3k2＋1
B的坐标，可得直线AB的方程．
15y－?2＝， 方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x－2)2＋??2?4
15?y－?2＝，??x－2?2＋??2?4由题意，得?
???x－1?2＋y2＝1.
两式相减，得2x＋y－3＝0.故选A.
4．A 解析：A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，|AB|＝2 2，圆心到直线x＋y
|2＋0＋2|
＋2＝0的距离d＝2 2，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为2 2＋r＝3
2
11
2，最小值为2 2－r＝2.则△ABP面积的最大值为×2 2×3 2＝6，最小值为×2 2
22
×2＝2.∴△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A.
→→
5．B 解析：由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故PA＋PC＝→→→→→2PO＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)，∴PA＋PB＋PC＝(x
→→→
－6，y)．故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.
6．AC
7．4 解析：由x－3y＋6＝0，得x＝3y－6.代入圆的方程，并整理，得y2－3 3y＋6＝0.
解得y1＝2 3，y2＝3.∴x1＝0，x2＝－3. ∴|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＝2 3.
|AB|
又直线l的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|＝＝4.
cos 30°
8．1≤m<2 解析：曲线y＝1－x2表示x2＋y2＝1的上半圆(包括端点)，如图D181.若函数f(x)有两个零点．则直线y＝x＋m与曲线y＝1－x2有两个不同的交点，直线只能在l1与l2之间变动，故此1≤m<2.
图D181 图D182 9．3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
解析：方法一，圆C的圆心坐标为(2,2)，半径为1.
显然，入射光线所在直线的斜率k不存在时不符合题意， 故可设入射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)， 则反射光线所在直线的斜率k′＝－k.
又点P关于x轴的对称点P′(－3，－3)在反射光线所在的直线上， 故反射光线所在直线的方程为y＋3＝－k(x＋3)．
|2k＋2＋3＋3k|
该直线应与圆相切，故有＝1，
1＋k234
∴12k2＋25k＋12＝0.解得k＝－或k＝－.
43
∴所求直线l的方程3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
方法二，如图D182，设圆C关于x轴对称的圆为圆C′， 则圆C′的圆心坐标为(2，－2)，半径为1. 设入射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)， 则该直线与圆C′相切．
类似方法一可得直线l的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 10．解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
|2k－3＋1|
∵直线l与圆C交于两点，∴<1.
1＋k2
4－74＋7解得 33 ?4－74＋7?. ∴k的取值范围为?? ?3，3? (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理，得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0. 4?k＋1?7 ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 2 1＋k1＋k2 →→OM·ON＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 4k?1＋k?＝＋8. 1＋k2 4k?1＋k? 由题设可得＋8＝12.解得k＝1. 1＋k2 ∴l的方程为y＝x＋1. 故圆心在直线l上，∴|MN|＝2. |4a＋10|5 11．解：(1)设圆心C(a,0)(a>－)，则＝2， 25 解得a＝0或a＝－5(舍)．∴圆C：x2＋y2＝4. (2)如图D183，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 图D183 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 22??x＋y＝4，由?得 ?y＝k?x－1?，? (k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， k2－42k2 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝2. k＋1k＋1 若x轴平分∠ANB， k?x1－1?k?x2－1?y1y2 则kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 x1－tx2－tx1－tx2－t 2?k2－4?2k2?t＋1??2－2＋2t＝0?t＝4. k＋1k＋1 ∴当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立． 12．解：(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB的中点Μ(x0，y0)，由圆的性质可得C1Μ垂直于直线l. y0y0 设直线l的方程为y＝mx(易知直线l的斜率存在)，∴kC1Μ·m＝－1，y0＝mx0，∴· x0－3x0 ＝－1， 392－3x＋y2＝0，即?x－?2＋y2＝. ∴x000002??4 |3m|42<. ∵动直线l与圆C1相交，∴<2，∴m 5m2＋1 42＝m2x2 50425 ∴3x0－x20 5 又∵0 3 39?5x0－?2＋y2 395 x－?2＋y2＝? (3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线． ?5，－2 5?按?x－3?2＋y2＝9?5 52 5? 逆时针方向运动到?，的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧．设 3??3 2 5?3k－4k?3?2?32 5352 5? P?，－，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，＝，解得k＝±.2＋157243??3k4－ 3 32 53 在这里暂取k＝，∵<，∴kΡΤ 474 图D184 结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当0≤k≤ 2 53 或k＝时，直线L与x轴对称74
2021届高考数学一轮复习训练第4讲直线与圆的位置关系
