玩数独学数学——以几道与四宫数独有关的数学题为例
作者：杨健辉 张 玮
来源：《小学教学参考·中旬》 2017年第2期
［摘 要］数独的解答过程往往复杂且有一定的难度，但只是将数独当作游戏又过于“简单”和“单调”。为此，挖掘和提炼数独游戏背后的一些数学元素，重新设计和包装数独游戏的活动素材，将玩四宫数独游戏和学习数学结合起来，让学生在玩数独游戏的过程中学习数学知识。
［关键词］四宫数独；游戏；数学题；数学学习
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2017）05-0004-02
数独，是一种填数字的游戏，看起来平凡普通、规则简单，却因其可训练严谨的逻辑推理能力而风靡全球。根据使用数字的数量不同，数独可以分为四宫数独、六宫数独和九宫数独等。解九宫数独题的思考过程过于复杂，对于小学生来说存在很大的困难，因此教师可以考虑将四宫数独游戏和一些数学知识结合起来，让其适合学生学习和玩耍。
我们试图从四宫数独游戏中各个数字之间要满足的逻辑关系出发，挖掘和提炼数独游戏背后的数学元素，重新设计和包装数独游戏的活动素材，让学生在玩数独游戏中学习数学知识，初步培养学生的数学素养，改变组织学生玩数独游戏时只注重玩乐而轻视学数学的倾向。
一、注重“数的计算”，培养计算能力
数与计算通常是连在一起的，有数的地方往往就会产生计算，数独游戏也不例外，它能在推理的同时让学生感受到计算是一种乐趣。
【例1】 在图1的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。请你在单元格中以“■”（横或竖）的形式选取出所有三个依次相邻的空白单元格，并求出这三个空白单元格里的数的和，答案分别是多少？
解：根据四宫数独的游戏规则，每一行、每一列填入的数都是1～4，因此每一行、每一列的“数字和”都是相等的，即1＋2＋3＋4＝10。根据这个特点，先找出符合条件的三个相邻的空白单元格，再利用“和－一个加数＝另三个加数”，即用10减去这三个相邻空白单元格所在的行或列中的已知数，便可求出这三个相邻空白单元格的和的值（尽管不一定知道这3个空白单元格中具体是何数）。如第二列的“4”的三个相邻单元格的和就是“10－4＝6”。同理，可以求出第三列、第二行、第三行中三个相邻空白格中的数的和分别是9、7、8。
【例2】 在图2的四宫数独中，已知涂色部分的7个数字的和是18，A是几？
解：这道题是在数独的数字特点上融合重叠问题设计的。学生一般会采用先完成四宫数独，再具体求解的思路来解答。如果不先解答四宫数独，可以求出A是多少吗？根据四宫数独的游戏规则，每一行、每一列都要填上数字1～4且不重复，那么每一行、每一列的数字和是10，这里就引出了矛盾：“任意一行数字的和是10，任意一列数字的和也是10，那么一行和一列的数字和应该是20，为什么题目的条件却说涂色部分（一行、一列）的数字和是18呢？”学生仔细观察便可以发现其中（7个数字的和）有蹊跷：由于A是重复的，而重复部分只算了一次。
至此，就可以引导学生理解“由于数字和18比20少了2，所以重复部分（A）应该是2，而已涂色部分中的“4”和“1”都可以忽略不计。”
以上两个例题不仅可以作为常规的四宫数独题让学生进行游戏（根据推理填数），也可以另辟蹊径：通过图中给出的数和这些数要满足的关系进行相关计算。这样，由于计算过程中蕴含着尝试、排除、推理等要素，学生就能充分感受到数学的魅力。
二、关注“整体思考”，感悟数学思想
无论是数的计算，还是数字推理，其背后都隐含着丰富的数学思想，体会数学思想的运用并感受数学思想的魅力都是在进行数学游戏时不可或缺的。
【例3】 在图3的四宫数独中，所有处于空白单元格中的数字和是几？
解：这是一道不难解答的四宫数独题，但我们更希望学生能在整体思考后再通过计算解答此题。根据四宫数独的游戏规则，从行的角度看，每一行都必须填入1～4四个数，而整个四宫数独有4行，所以整个数独的数字和就是40（从列来考虑也一样）。再观察给定的数字（即已填入的数字）和是20，因此空白部分单元格的数字和就显而易见了：从40里减去20，结果是20。
【例4】 在图4所给定的四宫数独中，所有空白部分单元格的数字和是几？
解：这道题可以引导学生用“总数－已知数字和＝空白数字和”的思想进行求解。需要注意，本题有一个“坑”：处在交叉位置上的“1”，学生稍不注意就会错“看成”两组“1～4”。因此，除了引导学生思考“四宫数独中所有的数字和是多少”外，还要让学生考虑问题“已填入的数字和是多少”，并追问：“为什么已填入的数字和不是20？”这样，学生很快就可以求出空白单元格中的数字和是21。
同样的道理，解答以上两个例题时，也可先推断出图中的全部数字再求出答案，然而运用数学思想巧妙求解的方式更能让学生感受到数学思想的魅力所在。
三、尝试“列举计数”，培养推理能力
在数独游戏中，探究某一单元格填数有几种填法也是一种很好的数学学习素材，像“逐一列举”“分类计数”“综合讨论”等都是重要的数学方法。由于学生的水平和能力有限，设置问题时一定要注意难度的调节，素材不宜过多也不宜太抽象。
【例5】 在图5所给定的四宫数独中：
（1）第一行已填入1和2，那么单元格a有几种填法？
（2）如果第一行已按要求填满数字，那么第一列的单元格b有几种填法？
（3）如果第一行和第一列均已按要求填满数字，那么第二列第2行的单元格c有几种填法？
为了帮助学生更深入地了解四宫数独中数字排列的构成情况，训练学生严密的逻辑思维能力和敏锐的观察能力，我们特意设计了这样一组关于四宫数独填数的排列问题。
教学时，可以先呈现图5（为了降低思考难度，数独中已填入两个数），提出问题：“第一行的单元格a有多少种填法？”学生不难发现此处有两种填法，可填3或4，因此这个单元
格一共有两种填数方法；继而稍作提升：“如果这行只填了数字1，那么单元格a有多少种填法？”引导学生想到有3种方法；接着继续提问：“如果第一行已按要求填满了数字，那么第一列的单元格b有几种填法？”有部分思考不够严密的学生会掉入“陷阱”，认为就是三个数的排列问题，很快会说答案是3，这时教师可以让学生通过摆数字卡片或用纸笔列举结果等方法进行尝试，并就 “第一列第2行的单元格b只能填哪个数”展开讨论，让学生在讨论中发现问题：“这个单元格不能填2，因为它与第二列第1行单元格属于同一宫！”此时学生不但清晰地掌握四宫数独的填数规则，思维的严谨性也得到有效训练；最后再问：“如果第一行、第一列已按要求填满数字，那么第二列第2行的单元格c有几种填法？”有了前面的思维训练经验，学生不仅会考虑“行”“列”的因素，还会结合“宫”的要求进行思考，很快就能发现这个单元格是第一宫唯一剩下的单元格，所以它的填法是唯一的。
数独游戏最大的特点就是运用推理的方式进行游戏和学习。其实，在思考某一个问题时做到不重复、不遗漏且有序等要求，是需要经过严格训练的，而这个训练素材就要靠教师精心设计、改编和开发。
四、鼓励“尝试探究”，培养探索能力
很多时候游戏不仅仅是娱乐，因为无论是数字的推理还是大光明论的获得，都需要学生在活动中通过探究而得，这正是培育学生探索意识、训练学生探究能力的极好过程与机会。让学生在游戏中活动、在活动中思考、在思考中积累，正是我们提出的教育主张“玩游戏、学数学、育素养”的具体体现。
【例6】 图6是一个四宫数独。已知中间4个单元格（内四角）的数分别是1、2、2、4，求外四角4个单元格（四个灰色格）中的数字积是多少。
引导学生从某个特殊情景想起：在这个四宫数独中，先考虑内四角中已有的数字“4”，去掉其所在的行、列和所在宫的格子，要在其他3个宫中按要求填上另外的3个“4”。经过尝试不难发现至少有一个“4”一定会填在某一个外四角的位置上；因为内四角上有四个数字，这四个数依刚才的结论都必须在外四角上各出现一次。因此，可以得出 “内四角4个单元格的数字会与外四角4个单元格的数字相同”的结论（注意区分内四角上有相同的数字）。再看本题已给出内四角上的数，要求外四角上四个数的积，就可以直接得出乘积是16，而不需要具体去考虑各个位置的数是几。
解这道题是通过先探索命题已具备的一些性质和特征，再利用这些特征去解决问题，从而求得答案的，这是数学中经常见到的解决问题模型之一。在游戏活动中，安排学生经历类似的
探究过程，能让学生通过力所能及的思考和推理进行探究，从中学习数学方法，积累活动经验。
数独，既然是一种与数字相关的游戏，必然会有很多与数学相关的要素可以挖掘。只要我们细心思考、用心研究，将其背后隐藏的计算问题、排列问题，乃至其他更有趣的数学问题进行重新开发、设计和包装，数独就不再是简单的数独，而是数学课堂教学的优秀帮手。
（责编 金 铃）
玩数独学数学——以几道与四宫数独有关的数学题为例
