11
所以S＝2lR＝2(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 规律方法 应用弧度制解决问题的方法：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 (2017·成都诊断)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r， ∴正方形边长为2r，
2r
∴其圆心角的弧度数是r＝2. 答案
2
考点三 三角函数的概念
?1?
【例3】 (1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P?－2，y?，则
??sin α·tan α＝( ) 3
A.－3
3B.±3
3 C.－2
3D.±2 (2)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
1
(3)满足cos α≤－2的角α的集合为________. 1
解析 (1)由|OP|2＝4＋y2＝1， 33
得y2＝4，y＝±2.
33
当y＝2时，sin α＝2，tan α＝－3，
3
此时，sin α·tan α＝－2.
6
33
当y＝－2时，sin α＝－2，tan α＝3，
3
此时，sin α·tan α＝－2.
(2)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.
1
(3)作直线x＝－2交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
???24
?α?2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z?.
33???
答案 (1)C (2)D
??24
?(3)α|2kπ＋3π≤α≤2kπ＋3π，k∈Z? ??
规律方法 1.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r. 2.根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.
7π3【训练3】 (2018·江西百校联考)已知角α的终边经过点(m，m)，若α＝3，则m的值为( ) A.27
1
B.27
C.9
1D.9
317πm－
解析 ∵tan ＝＝m6＝3，∴m－1＝33＝27，
3m
1
∴m＝27，故选B. 答案 B
基础巩固题组 (建议用时：25分钟)
7
一、选择题
1.给出下列四个命题：
3π4π①－4是第二象限角；②3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有( ) A.1个 C.3个 解析 －
B.2个 D.4个
3π4ππ4π
是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角， 4333
②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C
9π
2.下列与4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2kπ＋45°(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z)
9
B.k·360°＋4π(k∈Z)
5π
D.kπ＋4(k∈Z)
9π9π
解析 与4的终边相同的角可以写成2kπ＋4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确. 答案 C
3.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.一
B.二
C.三
D.四
解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B
34.(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝5，则m等于( ) A.－3 解析 sin θ＝答案 B
B.3
16
C.3
D.±3
m3
＝，解得m＝3.
16＋m25
8
2π
5.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达Q点，则Q点的坐标为( ) ?13?A.?－，? ?22??13?
C.?－，－?
2??2
?
B.?－??D.?－?
31?
? ，－
22?31?
? 2，2?
2π
解析 点P旋转的弧度数也为3，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足
2π2π13
x＝cos 3＝－2，y＝sin 3＝2. 答案 A
θθθ??
6.设θ是第三象限角，且?cos ?＝－cos 2，则2是( )
2??A.第一象限角 C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
解析 由θ是第三象限角，知2为第二或第四象限角，
θθθθ?θ?
∵?cos ?＝－cos 2，∴cos 2≤0，综上知2为第二象限角.
2??答案 B
7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α的弧度数为( ) π
A.3
πB.2
C.3
D.2
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，∴α＝3. 答案 C
8.(2018·西安模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( ) 4A.－5
3 B.－5
3C.5
4D.5 解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝113
中可得cos2θ＝5，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－5. 答案 B 二、填空题
9
9.(必修4P10A6改编)一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
π
解析 弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为3.
π答案 3
10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.
解析 由已知P(cos α，sin α)，则Q(－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α)
ππ
11.已知扇形的圆心角为6，面积为3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r，弧长为l， lπ??π?r＝6，?l＝，
3 则?解得?
π1??r＝2.lr＝，??23π
答案 3
12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上. ?3a－9≤0，∴?∴－2
能力提升题组 (建议用时：10分钟)
2π??2π
?，则角α的最小正值为13.已知角α的终边上一点P的坐标为?sin ，cos
33??( ) 5π
A.6 5πC.3
2πB.3 11πD.6
10
高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用(课件+讲义)：第四章 三角函数 解三角形 第1节
