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第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知 识 梳 理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
?按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.
(2)分类?
按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 l|α|＝r(弧长用l表示) π?180?①1°＝180 rad；②1 rad＝?π?° ??弧长l＝|α|r 11S＝2lr＝2|α|r2
1
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α 各象限符号 Ⅳ － ＋ － Ⅰ Ⅱ Ⅲ ＋ ＋ － x叫做α的余弦，记作cos α ＋ － － yx叫做α的正切，记作tan α ＋ － ＋ 三角函数线 有向线段MP为正弦线 [常用结论与微点提醒]
有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. π??
2.若α∈?0，?，则tan α>α>sin α.
2??
3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) π??
解析 (1)锐角的取值范围是?0，?.
2??(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2
2.角－870°的终边所在的象限是( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限. 答案 C
?????ππ?3.集合α?kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z?中的角所表示的范围(阴影部分)是
42?????
( )
ππ
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4≤α≤2nπ＋2(n∈N)，此时α表示的范围ππ
与4≤α≤2表示的范围一样；
5π3π
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋4≤α≤2nπ＋2(n∈N)，此时α表示的范围与5π3π≤α≤表示的范围一样. 42答案 C
4.(必修4P15T2改编)已知角θ的终边过点P(－12，5)，则cos θ＝________. x解析 ∵角θ的终边过点P(－12，5)，∴x＝－12，y＝5，r＝13，∴cos θ＝r＝12－13. 12
答案 －13
5.已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
l144
解析 由题意知α＝r＝120＝1.2 rad. 答案 1.2
考点一 角的概念及其集合表示0
3
α
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则2是( ) A.第一象限角
B.第二象限角 D.第二或第四象限角
C.第一或第三象限角
(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. π
解析 (1)∵α是第二象限角，∴2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， παπ
∴4＋kπ＜2＜2＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，
α2
是第一象限角；
当k为奇数时，2是第三象限角.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角ππ4是3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：3，
3π；
25
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－3π，－3π，故满足条
??5?π4?2
件的角α构成的集合为?－π，－π，，π?.
333??3??
??5?π4?2?答案 (1)C (2)－π，－π，，π?
333??3??
规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.确定kα，k(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或k的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或k的终边所在位置.
???k
180°＋45°，k∈Z?， 【训练1】 (1)(一题多解)设集合M＝?x?x＝2·
???
???k?180°＋45°，k∈Z?，那么( ) N＝x?x＝4·???
ααααA.M＝N C.N?M
B.M?N D.M∩N＝?
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.
4
???k
180°＋45°，k∈Z?＝{…，－45°，45°，解析 (1)法一 由于M＝?x?x＝2·
???
135°，225°，…}，
???k
?180°＋45°，k∈Z?＝{…，N＝x?x＝4·－45°，0°，45°，90°，135°，180°，???
225°，…}，显然有M?N，故选B.
k
法二 由于M中，x＝2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是k
奇数；而N中，x＝4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选B.
?π5?(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为?，π?，
?46?
π5??
所以，所求角的集合为?2kπ＋，2kπ＋π?(k∈Z).
46??
π5??
答案 (1)B (2)?2kπ＋，2kπ＋π?(k∈Z)
46??考点二 弧度制及其应用(典例迁移)
π
【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝3，R＝10 cm，求扇形的面积. π
解 由已知得α＝3，R＝10，
π50π1212
∴S扇形＝2α·R＝2·3·10＝3(cm2).
【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. π10π
解 l＝α·R＝3×10＝3(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形
π112
＝2·l·R－2·R·sin 3 110π13＝2·3·10－2·102·2 50π－753＝(cm2).
3
【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20.
5
高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用（课件+讲义）：第四章 三角函数 解三角形 第1节
