!-
【例15】第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方，第三个图案有1+3+5＝9＝3的平方，……故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。
综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。
2007?无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所
有圆圈的个数为1+2+3+…+n= ．
如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
解析：（1）图3中依次排列为1，2，4，7，11……，如果用后项减前项依次得到1，2，3，4，5……，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4……,从分解看，第n个圆圈的个数应为1+(1+2+3+4+……n)，而1+2+3+4+……+n正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了公式: 1+2+3+…+n=
，则第n项公式为1+
，已知共
有12层，那么求图3最左边最底层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11（11+1）/2=67.
!-
解析：（2）已知图中的圆圈共有12层，按图4的方式填上-23，，-22，-21，……,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和？
第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）12/2=78个，那78个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1有23个负数，1个0，78-24=54个正数， 1至54，所以分段求和，两段相加得到图4中所有圆圈的和。第一段：S=
首项?末项（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）?项数=
2*54/2=1485，相加后得1761。
例如、观察下列数表：
解析：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为______ .（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2n-1。
还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。
!-
二、 要抓题目里的变量
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含的代数式表示）.
（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））
这一题的关键是求第个图形中需要几块黑色瓷砖？
解析：在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。
云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m=
（用含 n 的代数式表示）.”
三、 要善于比较
“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是
。”
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有
关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
!-
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n-1，第100项是100-1。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：
2
2
① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是
．”
解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是1＋2＋3＋4＋5。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为15。
四、要善于寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个。”
这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环
2
3
3
3
3
3
!-
节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。
五、要抓住题目中隐藏的不变量
有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。
例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：
。”
在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。
六、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x，2x，3x，5x，8x，……。试按此规律写出的第10个式子是
1
2
3
4
5
6
。”
这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。
从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。 所以，原数列第10项是34x。
9
精编初级中学数学规律题应用汇总（全部有解析）
