? ? 的矩估计??^11n1??Xini?1nn?2，
(2) L(?)=(??1)?Xi?
i?1n? ln L(?)= n ln(??1)+??lnXii?1
? ? 的极大似然估计???^11nlnXi?ni?1?1
19.某医院从2009年的新生儿中随机抽出20个,测得其平均体重为3160克.样本标准差为300克,而根据2008年资料 ,新生儿平均体重为3140克,问2009年与2008年新生儿体重均值有无显着差异 (设体重服从正态分布,取??0.05,t0.025(19)?2.09),
解 设X为2009年新生儿的体重, 则由题意可设X~N(?,?), 本题是要求在显着性水平?检验假设:
2?0.05下
H0:???0,2
H1:???0 (其中?0?3140)
由于? 未知, 故采用t检验, 取检验统计量为t?x??0, 拒绝域为C?{|t|?t?2(n?1)}.
s/n已知 n?20,x?3160,s?300, 所以
|t|?3160?314019??1?2.09?t0.025(19)， 15300/19故接受H0, 即在显着性水平0.05下认为2009年新生儿的平均体重与2008年的没有显着差异.
20.若事件A,B相互独立，且P(A)?0.4，P(A?B)?0.6，求P(B),P(AB). 解 QP(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)
21.某厂有4条流水线生产同一批产品，产品分别占总量的15%，20%，30%，35%，且四条
流水线中，不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从中任取一件，求取到不合格品是第一条流水线生产的概率是多少？
解 设Ai?{第i条流水线生产的产品}，i?1,2,3,4，B?{取到不合格品}， 则由贝叶斯公式有，
??kx,0?x?122.设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)??，求：⑴ 常数k； ⑵
?其他?0,P(x?1)； ⑶ X的分布函数F(x)；⑷期望、方差EX,DX。 4解 （1）
?????f(x)dx??kxdx?1，?k?013 2（2）P(X?)?14???1437xdx? 28?0?3?（3）F?x???x2?1??（4）EX?x?00?x?1 x?133xxdx? 0251?????xf(x)dx??23.设二维随机向量（X，Y）的概率分布为 求⑴ X，Y立性； ⑵P⑶在X=1=X+|Y|的概解（1） X P -1 Y X 0 2 的边缘分布，并讨论X，Y的独（X>Y）； 的条件下，Y的条件分布；⑷ξ率分布。 0.3 1 1 0 0.2 0.3 0.1 Y P 0.1 -1 0 2 ? X与Y不独立。
（2）P(X?Y)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?0)?0.3
（3）P(Y??1X?1)?P(X?1,Y??1)0.11??
P(X?1)0.44 （4）
??X+|Y| P -1 0 1 2 3 24.某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机的个数ξ在6至12个之间的概率。 Φ（2.5）=0.9938。
解??～B（120，0.05） ∴np?6,npq?5.7
=0.9938-0.5 =0.4938
??x??1?25.设总体X的密度函数为：f(x,?)???0?,,0?x?1,, 其中??0为未知参数，
其他X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，求参数?的矩估计和最大似然估计。
?1解 (1) E(X)????xf(x,?)dx??xdx???0???1,
2X????令 ?X,解得?矩估计量为 ??1?X??1?????. ?(2) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，则似然函数为 当0?xi?1,i?1,2,?,n时,L(?)?0,并且
lnxi?dlnLn??i?1?0, 令
d?2?2?解得?的极大似然估计量为
n? ??n2??lnXi????i?1?n2.
26.某种电子元件的寿命X服从正态分布N平均值x??，其中?，???，22均未知，现测得16只元件的寿命的样本
?241.5，样本均方差s?98.73。问是否有理由认为元件的平均寿命大于240。（??0.01，
t0.01?15??1.34）
解 由题设X服从N??，??，且?，?22未知
H0：??240，H1：??240
由于?未知，选择T检验法
当H0成立时，有T?又由?X?240服从t?n?1?
s/n?0.01，t0.01?15??1.34
?241.5，s?98.73
而由已知，x则 t?241.5?240?0.061?1.34
98.73/16故 接受H0，拒绝H1，即 认为元件的平均寿命不大于240。
27. 对一架飞机进行三次快速独立实验，命中率为0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别为0.2，0.6，1.0，求射击三次后飞机被击落的概率。 0.5328
29.设随机向量（X,Y）的联合分布律为：
X Y -1 1 2 -1
? 0.05 0.1
0 0.1 0.05 0.1 1 0.2 0.1 0.2
若X,Y相互独立，求（1）?；（2）X,Y的边际分布律；（3）X+Y的分布律；（（1）??0.1
（2）
X -1 0 1 P 0.25 0.25 0.5 Y -1 1 2 P 0.4 0.2 0.4 (3)
X+Y -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.1 0.25 0.15 0.2 0.2
(4) 0.15
?130.设A??22??212???，求正交矩阵P，使P?1AP为对角矩阵.
?221????1?2?2解 ?E?A??2??1?2?(??1)2(??5)
?2?2??1A的特征值为?1??2??1,?3?5. 对?1??2??1，求解(?E?A)x?0
故对应的特征向量为：?1?(?1,1,0)T,?T2?(?1,0,1) 正交化 单位化
?1??1??1(?1,1,0)T,?2??212??1(?1,?1,2)T. 264）E?X?Y?。 对?3?5，求解 (5E?A)x?0
特征向量为?3?(1,1,1)T, 单位化 ?3??31?(1,1,1)T, ?33??1616261??3?1??, 3?1??3??1???2?1令P?(?1,?2,?3)???2??0???1??.
P?1AP???1???5???31．设三阶实对称矩阵
A的秩为2，?1??2?6是A的二重特征值。若
?1?(1,1,0)T,?2?(2,1,1)T,?3?(?1,2,?3)T都是A的属于6的特征向量 A的另一个特征值和对应的特征向量；
（2）求矩阵A。
（1）求解：（1）
A?0得?3?0
T设另一个特征向量为??(x1,x2,x3)
（2）A?P?P?1?12?1??600??12?1?????????111??060??111? ?011??000??011????????12??42??4?2? =?2?2?24???32．设A为三阶实对称矩阵，且满足A?A?2E?0 已知向量
2?0??1??????1??1?, ?2??0?,
?0??1?????是A对应特征值??1的特征向量，求An，其中n为自然数。
解:(A?E)(A?2E)?0，特征值??1、1、－2，
《概率论与数理统计》复习答案
