数学讲义之三角函数、解三角形
【主干内容】 1. 弧长公式：l?|?|?r. 扇形面积公式：s扇形?11lr?|?|?r2 222. 三角函数的定义域：
三角函数 f(x)?sinx f(x)?cosx f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx 定义域 ?x|x?R? ?x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 y?sinxR [?1,?1] y?cosxR [?1,?1] y?tanx1? ??x|x?R且x?k???,k?Z?2??y?Asin??x??? （A、?＞0） R R ? ??A,A? ?当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)??????周期性 2? 奇偶性 单调性 奇函数 2? 2?偶函数 [?2k?1??,2k?]奇函数 ?????k?,?k??2?2?[??2?2k?,；????2?2k?]上为增函数；[上为增函数[2k?, ?2k?1??]上为减函数 （k?Z） 上为增函数（k?Z） ?23??2k?]2?2k?,上为增函数； ??2k?????上为减函数（k?Z） ??2(A),???????32k???????2(?A)?????上为减函数（k?Z） 1 / 8
4. 同角三角函数的基本关系式：5. 诱导公式：把sin?22?tan? sin??cos??1 cos?k? ??的三角函数化为?的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin?
tan??tan?tan(???)? 1?tan?tan?
tan(???)?
tan??tan?1?tan?tan?
sin2??2sin?cos?cos2??cos??sin??2cos2??1?1?2sin2?22
2tansin???2
1?tan21?tan2cos??1?tan2?2
?2?2
2tantan???21?tan2? 26.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）. 【注意！！！】本专题主要思想方法
1.等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题； 2.数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题； 3.分类讨论。
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【题型分类】
题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。 〖例1〗（10全国卷Ⅰ文）cos300??
A．?3311 B.- C. D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】cos300??cos?360??60???cos60??〖例2〗（10全国卷Ⅱ文）已知sin??1 22，则cos(x?2?)? 3A.?5511 B.? C. D. 339919
【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴
cos(??2?)??cos2???(1?2sin2?)??o〖例3〗（10福建文）计算1?2sin22.5的结果等于( )
A.
2331 B. C. D. 2322【答案】B
【解析】原式=cos45=o2,故选B. 22〖例4〗 (10浙江文)函数f(x)?sin(2x??4)的最小正周期是 。
1??1?cos?4x???，可知其22?2?解析：对解析式进行降幂扩角，转化为f?x???最小正周期为
?，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。 2题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。 〖例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为?，且在[A.y?sin(2x???,]上为减函数的是
42?) B.y?cos(2x?) 22?3 / 8
C.y?sin(x??) D.y?cos(x?)〖例3〗为22??π??的图象，只需将函数y?sin2x的图象 3??得到函数y?cos?2x?A．向左平移
5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位
6??π?3???5π个长度单位 125πD．向右平移个长度单位 6B．向右平移
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数y?cos?2x???sin?2x????5????5?????sin?2x???sin2?x??，32?6???12?5π个长度单位，选择答案A． 1222故要将函数y?sin2x的图象向左平移
〖例5〗（09重庆文）设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos?x(??0)的最小正周期为
2?． 3（Ⅰ）求?的最小正周期．
（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移到，求y?g(x)的单调增区间．
解：（Ⅰ）
?个单位长度得2f(x)?(sin?x?cos?x)2?2cos2?x?sin2?x?cos2?x?sin2?x?1?2cos2?x?sin2?x?cos2?x?2?2sin(2?x?)?2
4依题意得
?2?2?3?，故?的最小正周期为. 2?32 （Ⅱ）依题意得:
???5??g(x)?2sin?3(x?)???2?2sin(3x?)?2
24?4?由2k???2≤3x?5??≤2k??42(k?Z)
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解得
2?27?k??≤x≤k??3431223(k?Z)\\
故y?g(x)的单调增区间为: [k??
?27?,k??](k?Z) 4312
题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题。
〖例1〗若x是三角形的最小内角，则函数y?sinx?cosx?sinxcosx的最大值是（ ） A．?1 解析：由0?x?B．2 C．??3，令t?sinx?cosx?2sin(x?211?2 D．?2 22??7?4),而
4?x?4?12?，
t2?1得1?t?2.又t?1?2sinxcosx，得sinxcosx?，得
2t2?11(2)2?112y?t??(t?1)?1，有1?0?y?2??2?．∴ D． 2222点评：涉及到sinx?cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决． 〖例2〗（09上海文）函数f(x)?2cosx?sin2x的最小值是 。 解析:2cos2x?sin2x?1?cos2x?sin2x?1?2sin(2x?22?∴ymin?1?2 )，4〖例3〗(10江西文)函数y?sinx?sinx?1的值域为 A．??1,1? B．??〖例4〗已知函数
?5??5??5?,?1? C．??,1? D．??1,,? ?4??4??4?6f(x)?2asinxcosx?2bcos2x，且f(0)?8,f(?)?12． （1）求实数a，b的值；
（2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值． 分析：待定系数求a，b；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 5 / 8
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
