1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
问题导学
一、分类加法计数原理的应用 活动与探究1
某校高三共有三个班，各班人数如下表． 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法； (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
迁移与应用
1．(2013山东济宁模拟)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有__________种．
2．家住济南的小明同学向往北京的故宫、长城，准备暑假去参观旅游，从泉城济南到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班，动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有__________种不同的方法．
分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．
二、分步乘法计数原理的应用 活动与探究2
(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
65
A．5 B．6
5×6×5×4×3×2C．D．6×5×4×3×2
2
222
(2)已知a?{1,2,3}，b?{4,5,6,7}，r?{8,9}，则方程(x－a)＋(y－b)＝r可表示不同的圆的个数为( )
A．9 B．12 C．8 D．24 迁移与应用
1．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )
A．24种 B．48种 C．64种 D．81种
2．图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有__________种不同的分法．
利用分步乘法计数原理计数的一般思路是首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后，才能完成整件事．
三、两个计数原理的综合应用 活动与探究3
王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？ 迁移与应用
1．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，则不同的选择有__________种．
2．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)这些点中，位于第一象限的有几个？
(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
(2)注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”．
答案：
课前·预习导学 【预习导引】 1．m＋n
预习交流1 (1)提示：m1＋m2＋?＋mn
(2)提示：①完成一件事有若干个不同的方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
(3)提示：15种 2．m×n
预习交流2 (1)提示：m1×m2×?×mn
(2)提示：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
(3)提示：D 4．求和 相乘 课堂·合作探究 【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．
解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
迁移与应用 1．8 解析：任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法： 第一类，从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；
第二类，从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法． 由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8种．故填8． 2．15 解析：小明去北京共有3类办法，任选一类都可以独立完成“去北京”这件事．乘坐飞机有3种方法，动车组有4种方法，汽车有8种方法，∴共有3＋4＋8＝15种方法．
活动与探究2 (1)A 解析：要完成选择听讲座这件事，需要分六步完成，即6名同学逐个选择要听的讲座，因为每名同学均有5种讲座可选择，由分步乘法计数原理，6位同学
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共有5×5×5×5×5×5＝5种不同的选法．
(2)思路分析：确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．
D 解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定a有3种不同的选取方法；第二步，确定b有4种不同的选取方法；第三步，确定r有2种不同的方法．由分步乘法计
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数原理，方程(x－a)＋(y－b)＝r可表示不同的圆共有3×4×2＝24个．
迁移与应用 1．A 解析：由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的参赛方法．
2．336 解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法．∴不同分法有8×7×6＝336种．
活动与探究3 思路分析：解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法事情是否完成，从而区分加法原理和乘法原理．
解：(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12种．
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60种．
(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47种．
迁移与应用 1．28 800 解析：分两类情况：
(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果． 因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．
2．解：(1)可分为两类，A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，共得到3×4＋4×3＝24个不同的点．
(2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8个不同的点．
当堂检测
1．如果x，y?N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )
A．15 B．12 C．5 D．4
答案：A 解析：利用分类加法计数原理． 当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6种情况． 当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5种情况． 当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4种情况．
据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15种情况．
2
2．(2013福建高考，理5)满足a，b?{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
答案：B 解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1，0,1,2都有解；a≠0时，
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若方程ax＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝2－4ab≥0，即ab≤1．当a＝－1时，b可取－
1,0,1,2．当a＝1时，b可取－1,0,1．当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．
3．某体育馆有8个门供球迷出入，某球迷从其中一门进入，另一门走出，则不同的进出方法有( )
A．16种 B．56种 C．64种 D．72种
答案：B 解析：分两步进行：第一步，选一门进入有8种方法；第二步，从剩下的门中选择一门走出有7种方法，共8×7＝56种方法．
4．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，集合C＝{x|x?A，或x?B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有__________种．
答案：7 解析：分两类进行，第一类，当元素属于集合A时，有3种．第二类，当元素属于集合B时，有4种．
∴共3＋4＝7种．
5．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有__________种不同的推选方法．
答案：31 解析：分为三类：
第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法； 第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
高中数学第一章1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理问题导学案
