专题05 解析几何
大题肢解一
直线与抛物线
（2024年全国卷I）已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为与x轴的交点为P．
（1）若|AF|?|BF|?4，求l的方程；
23的直线l与C的交点为A，B，2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．
【肢解1】若|AF|?|BF|?4，求l的方程；
uuuruuur【肢解2】若AP?3PB，求|AB|．
【肢解1】若|AF|?|BF|?4，求l的方程；
【解析】设直线l方程为
y?3x?m2，A?x1,y1?，B?x2,y2?，
35?4，所以x1?x2?， 22由抛物线焦半径公式可知AF?BF?x1?x2?3??y?x?m22联立?得9x?12(m?12)x?4m?0， 22??y?3x1， 2712m?125所以x1?x2???，解得m??，
892由??(12m?12)?144m?0得m?22所以直线l的方程为y?37x?，即12x?8y?7?0. 28uuuruuur【肢解2】若AP?3PB，求|AB|．
【解析】设直线l方程为x?2y?t， 32?x?y?t1?2y?2y?3t?0联立?得，由得， t????4?12t?0332?y?3x?由韦达定理知y1?y2?2，
因为AP?3PB，所以y1??3y2，所以y2??1，y1?3，所以t?1，y1y2??3. 则|AB|?1?
44413?(y1?y2)2?4y1y2?1??22?4?(?3)?.
993
设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，过点F的而直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．
温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
2
【拓展1】已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为为P．若|AF|?|BF|?23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点27，求l在y轴上的截距. 2y?3x?m2，A?x1,y1?，B?x2,y2?，
37?，所以x1?x2?2， 22【解析】设直线l方程为
由抛物线焦半径公式可知AF?BF?x1?x2?3??y?x?m22联立?得9x?12(m?12)x?4m?0， 22??y?3x由??(12m?12)?144m?0得m?221， 2
112m?12?2，解得m??，
29131所以直线l的方程为y?x?，令x?0得y??，
222所以x1?x2??所以直线l在y轴上的截距为?21. 23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点2【拓展2】已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为
uuuruuur为P．若AP?2PB，M(?4,0)，求?ABM的面积．
【解析】设直线l方程为x?2y?t， 32?1?x?y?t2联立?得y?2y?3t?0，由??4?12t?0得t??， 332?y?3x?由韦达定理知y1?y2?2，y1y2??3t，
因为AP?2PB，所以y1??2y2，所以y2??2，y1?4，所以y1y2??8.t??所以|AB|?1?8， 344?(y1?y2)2?4y1y2?1??22?4?(?8)?213， 99直线l方程为x?|?12?8|428?， y?，即3x?2y?8?0，所以点M(?4,0)到l的距离d?331313114|AB|?d??213??4． 2213所以?ABM的面积为
变式训练一
1.（2024年山西太原一模)已知抛物线y?4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若?AOB的面积为6，求|AB|.
【解析】由题意知抛物线y?4x的焦点F的坐标为(1,0)， 易知当直线AB垂直于x轴时，?AOB的面积为2，不满足题意， 所以可设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0)， 与y?4x联立，消去x得ky?4y?4k?0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理知y1?y2?22224，y1y2??4， k
所以|y1?y2|?16?16， k2116?1?2?16?6，解得k??2， 2k所以?AOB的面积为
所以|AB|?1?1?|y1?y2|?6. 2k22.（2024年湖北荆州模拟)已知抛物线y?4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A,B两点.
uuuruuur（1）若AF?3FB，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 【解析】（1）依题意可设直线AB:x?my?1，
?x?my?1将直线AB与抛物线联立?2?y2?4my?4?0，
?y?4x设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理得??y1?y2?4m，
?y1y2??4uuuruuur12因为AF?3FB，所以y1??3y2，即m?，
3所以直线AB的斜率为3或?3． （2）SOACB?2S?AOB?2?1OF?y1?y2?y1?y2?(y1?y2)2?4y1y2?16m2?16?4， 2当m?0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．
大题肢解二
（2024届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过A(0,?1)、
1B(3,)两点，
2（1）求椭圆C的方程； （2）设直线l:y?1求当所取何值时，?OPQ的面积最大. x?m(m?0)与椭圆C交于P，Q两点，
21x?m(m?0)与椭圆C交于P，Q两点，求当所取何值时，?OPQ的面积最2【肢解1】求椭圆C的方程； 【肢解2】设直线l:y?大.
【肢解1】求椭圆C的方程；
x2y2【解析】（1）由题意可设椭圆C的方程为2?2?1，
mn?02??1?2?2?2?1mn?1???2 解得n2?1，m2?4， 代入A?0,?1?、B?3,?两点得?1??2???2???3??2??1?n2?m2x2?y2?1. 所以椭圆C:4【肢解2】设直线l:y?大.
1x?m(m?0)与椭圆C交于P，Q两点，求当所取何值时，?OPQ的面积最21x2?1?【解析】将直线l:y?x?m,(m?0)代入?y2?1得：x2?4?x?m??4. 24?2?整理得x?2mx?2m?2?0.
222???2m??4?2m2?2??8?4m2?0得?2?m?2.
22由韦达定理得x1?x2??2m，x1x2?2m－2.
x1?x2??x1?x2?2?4x1x2?4m2?4?2m2?2??8?4m2
S?OPQ?1mx1?x2?m2?m2??m4?2m2. 22由二次函数可知当m?1即m?1时，?OPQ的面积的最大．
直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2 ＝
11＋2|y1－y2| k
2024年高考数学(理)大题分解专题05 解析几何(含答案)
