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三角函数在圆 二次函数中的应用
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1(成都市)已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， AC?22，BC=1，那么sin∠ABD的值是 ．
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC
CD相交与于点P，若∠DPB=α，那么等于
AB A．sinα B．COSα C．tanα D．
1
tan?
图2 三、用切线与半径的关系构造直角三角形
例3(金华市) 如图4，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）⊙O的半径； （2）sin∠OAC的值；
（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．
O
A C H
图3
四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形
例4如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线；
A (2)求sin∠E的值。
F D G
C E B O
图4 www.xsjjyw.com 新世纪教育网 单位租用个人充值 客服：13857608325
B
例5、如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2， 求tan ∠A的值.
例6、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE, 交⊙O于D.
(1)求证：DC=BC；
(2)若DC:AB=3:5,求sin∠CAD的值.
例7、已知：如图C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD；
(2)若DF=5/4，tan ∠ECB=3/4，求PB的长.
２
例8、已知如图所示，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE= . (1)求EM的长； 15(2)求sin ∠EOB的值.
例9、已知：如图AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8 (1)求BC的长；
(2)连结DC，求tan ∠PCD的值；
(3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式.
３
三角函数在圆 二次函数中的应用
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1(成都市)如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， AC?22，BC=1，那么sin∠ABD的值是 ．
解析：在⊙O中，∠ACD=∠ABD；
又由于AB为⊙O的直径，CD⊥AB，则∠ACD=∠ABC. Rt△ABC中，AB=从而sin∠ABD=
AC2?BC2=(22)2?12=3,
AC22=.
3AB评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，
充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α， CD那么等于
AB A．sinα B．COSα C．tanα D．
1
tan?解析： 连结BD,由于AB为直径,则∠ADB=90°, 于是,在Rt△PBD中,有COSα=
PD, PB图2
而点C和点A在圆周上，所以∠A=∠C， 又∠APB=∠CPD，则△APB∽△CPD， 从而
CDPDCD=，所以=COSα，故选B。 ABPBAB评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。
三、用切线与半径的关系构造直角三角形
例3(金华市) 如图4，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）⊙O的半径；
O （2）sin∠OAC的值；
（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．
oA C 解析：（1）因为AB是⊙O的切线，所以?OAB?90， H 则AO?OB?AB，从而OA=5．
222B
图3 OH2（2）因为OH⊥AC，所以∠OHA＝90°，则sin∠OAC==．
OA52222（3）因为OH⊥AC，所以AH?AO?OH，AH=CH，则AH=25-4=21， 所以AH=21，于是AC=2AH=221≈9.2．
评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。
四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形
４
例4(武汉市)如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)求sin∠E的值。
A 解析：（1）证明：如图5,连结OD、CD，
因为BC是直径，所以CD⊥AB， F 而AC=BC，则D是AB的中点 D G 又因为O是CB的中点，所以OD//AC
由于DF⊥AC，则OD⊥EF，于是EF是⊙O的切线.
C （2）连结BG，因为BC是直径，所以∠BGC=90° E B O 在Rt△BCD中，CD=
AC2?AD2=102?62=8
图4 而AB·CD=2S?ABC= AC·BG , 则有BG=
AB?CD12?848==. AC105在Rt△BCG中，CG=BC2?BG2=102?(又因为BG⊥AC， DF⊥AC，所以BG//EF,
48214)=;
5514CG57 则∠E=∠CBG,从而sin∠E=sin∠CBG===
BC1025 图5
例5、如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=BC=2， 求tan ∠A的值.
解：(1)连结OD，∵OC为直径 ∴∠CDO=90°
又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线 (2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8 ∴CD=22
∵∠BDC=∠A ∠BCD=∠DCA ∴△BCD∽△DCA ∴ = 222BDCD?? DACA42∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan∠A= BD?2DA2
５
圆中的三角函数题解题策略
