数列通项与求和
一．求数列通项公式
1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）
2例．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列?an?的通项
公式．
答案：an?3n 5?a1,(n?1)2．公式法：已知Sn（即a1?a2?L?an?f(n)）求an，用作差法：an??
S?S,(n?2)n?1?n例．设正整数数列{an}前n项和为Sn，满足Sn?答案：an?2n?1
1(an?1)2，求an 4f(1),(n?1)??f(n)3．作商法：已知a1a2Lan?f(n)求an，用作商法：an??。
,(n?2)??f(n?1)2如数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n，则a3?a5? ；
答案：
61 164．累加法：若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)?a1(n?2)。
例．已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．
n2?n?4答案：an?
25．累乘法：已知
an?1aaa?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?L?2?a1(n?2) anan?1an?2a1例．已知数列?an?满足a1?2n，an?1?an，求an。 3n?1答案：an?2 3n6．已知递推关系求an，用构造法（构造等差．等比数列）。
（1）形如an?1?pan?f?n?只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异．其中f?n?有多种不同形式 ①f?n?为常数，即递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。
解法：转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p例． 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an．
n?1答案：an?2?3
②f?n?为一次多项式，即递推公式为an?1?pan?rn?s 例．设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an．
n?1答案：an?6?3?n?1
2③ f(n)为n的二次式，则可设bn?an?An?Bn?C；
nn（2）递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。（或an?1?pan?rq，
其中p，q， r均为常数）
解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1??n? n?1qqqq引入辅助数列?bn?（其中bn?anp1b?b?），得：再应用类型（1）的方法解决。 n?1nqqqn例．已知数列?an?中，a1?511，an?1?an?()n?1，求an。 632答案：an?3?()n?2?()n
（3）递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。
1213解法：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)其中s，t满足?的方法求解。
例． 已知数列?an?中，a1?1，a2?2，an?2?答案：an??s?t?p，再应用前面类型（2）
?st??q21an?1?an，求an。 33731n?1?(?) 443an?1或an?1-ban=kanan?1的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan?1?b7． 形如an?例．an?an?1,a1?1
3?an?1?11
3n?2答案：an?8.利用平方法、开平方法构造等差数列
例1．数列?an?的各项均为正数，且满足an?1?an?2an?1，a1?2，求an。
2答案：an?(n?2?1)
例2．已知f(x)?1x?22(x??2)，求：
（1）f?1(x)；（2）设a1?1,1??f?1(an)(n?N?)，求an。 an?1答案：（1）f?1(x)??2?11(x?0)a?（2） nx22n?1r9．an?1?p?an型
该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 两边取对数得
rlgan?1?lg(p?an)
lgan?1?lgp?rlgan
设bn?lgan∴原等式变为bn?1?rbn?lgp即变为基本型。
例．已知a1?2,an?12an?，求其通项公式。 3答案：an?3?()2
23n?1练习：
n?11.已知a1?1且an?1?2an?2，求an
答案：an?(n?)2n
n2.已知a1?3且an?1?3an?2，求an
12n?1n答案：an?5?3?2
3.已知数列?an?中，a1?1，前n项和Sn与an的关系是 Sn?n(2n?1)an ，试求通项公式an。 3解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)? a1=1；
当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2?a2=0； 当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3?a3=2； 综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
nn?1⑵由已知得：an?Sn?Sn?1?2an?(?1)?2an?1?(?1)
n?1化简得：an?2an?1?2(?1)
上式可化为：an?22(?1)n?2[an?1?(?1)n?1] 33故数列{an?故an?22(?1)n}是以a1?(?1)1为首项, 公比为2的等比数列. 3321122(?1)n?2n?1 ∴an?g2n?1?(?1)n?[2n?2?(?1)n] 33333数列{an}的通项公式为：an?2n?2[2?(?1)n]. 34.设数列?an?满足a1?3a2?32a3?…?3n?1an?n，n?N*．求数列?an?的通项； 3解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1
?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1 ?2?(n?1)n?(n?1)?12所以数列{an}的通项公式为an?n2
5. 已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，
?点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上．求数列{an}的通项公式；
'解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)①
所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan②
所以②式－①式得an?1?an?nan
则an?1?(n?1)an(n?2)
则
an?1?n?1(n?2) anaanan?1????3?a2 an?1an?2a2所以an??[n(n?1)???4?3]?a2?n!?a2③ 2由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n=2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?n! 2
数列通项公式与求和讲解与习题含答案
