第一章 集合与函数概念
第一节 集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义: 集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其
中每一个对象叫元素
2. 集合的中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性 (1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法 描述法和图示法。 1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方
法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 分为：①符号描述法：
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。 3） 图示法:
分为：①区间法：用开区间 闭区间以及半开（半闭）区间表示 ②Venn法：
? 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N? 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 4、集合的分类：
有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合
空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
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二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集 A?B 表示A包含于B 或者说B包含A 注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?2．“相等”关系：
集合相等的定义：如果A?B 同时 B?A 那么A=B (5≥5且5≤5，则5=5) ① 自反律：任何一个集合是它本身的子集。A?A
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B (或B?A)
③传递律：如果 A?B, B?C ,那么 A?C 3. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
★规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 4． 幂集：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算 运算类型 定 义 韦 恩 图 示 交 集 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作‘A交B’），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． AB并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作‘A并B’），即A?B ={x|x?A，或x?B})． AB补 集 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA，即 CSA={x|x?S,且x?A} S A 图1 图2 (CuA) ? (CuB) = Cu (A?B) (CuA)? (CuB)= Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ． A?A=A 性 A?Φ=Φ A?B=B?A 质 A?B?A A?B?B A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B
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四、一些基本集合恒等式
1．结合律：（A?B）?C= A?（B ?C）； （A?B ）?C=A?（B ?C）
2．分配律：A?（B?C）=（A?B）?（A?C）； A?（B?C）=（ A?B ）?（A?B） 3．吸收律：A?（A?B）=A； A?（A?B）=A
4．德·摩根定律（反演律）：(CuA) ? (CuB) = Cu (A?B)； A? (CuA)=U (CuA)? (CuB)= Cu(A?B)； A? (CuA)= Φ Cu (CuA)=A 五．容斥定理：
原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
card（A∪B ）= card（ A）+ card（B ）- card (A∩B)
原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C ）= A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + (A∩B∩C）
第二节 函数的有关概念
1．映射的概念
1). 映射的定义: A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素x ，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射.记做记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：
(a)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (b)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (c)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
2). 一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的不同元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：A→B是一一映射，那么g：B→A是映射。
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2．函数的概念
1) .函数的定义:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2) .函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
①．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (8)三角函数中的正切函数 ②．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3) . 函数的表示法：列表法、图象法、解析法
3.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2) 4. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法
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A 描点法： B 图象变换法
1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换
5．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示． 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
第三节 函数的性质（单调性、奇偶性与周期性）
1.函数的单调性(局部性质) （1）单调函数的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 ①f(x1) ②f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y= f(x)的单调区间。 （3）图象的特点 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右 5
高一数学必修一各章知识考点精编总结
