充分条件与必要条件
预习课本P9～11，思考并完成以下问题 1．什么是充分条件、必要条件？
2．什么是充要条件？
[新知初探]
1．充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系 2．充要条件 若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件( ) π1
(2)α＝是sin α＝的必要条件( )
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(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题( )
“若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 p?q p是q的充分条件 q是p的必要条件 p?/ q p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 1 / 12
(4)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( ) 1
A．x＝－
2C．x＝5 答案：D
3．设集合M＝{x|0 4．“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [典例] (1)(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．x＝－1 D．x＝0 2 / 12 D．既不充分也不必要条件 [解析] (1)由2－x≥0，得x≤2， 由|x－1|≤1，得0≤x≤2. ∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2， 故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|. ∴当λ<0，n≠0时，m·n<0. 2 ?π?反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈?，π?， ?2??π?当〈m，n〉∈?，π?时，m，n不共线． ?2? 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件． (3)命题“若x≠y，则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x＝cos y，则x＝y”，这个命题是假命题，故x≠y?/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y，则x≠y”等价于命题“若x＝y，则cos x＝cos y”，这个命题是真命题，故cos x≠cos y?x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件． [答案] (1)B (2)A (3)C 充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假；③下结论：根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题． (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． [活学活用] 1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 由正弦定理，得 ， sin Asin Ba＝b3 / 12
2024-2024学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件讲义含解析新人教A版选修
