15.3 分式方程 第1课时 解分式方程
【教学目标】 1.通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，增强“用数学”的意识. 2.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程. 3.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想. 4.了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法. 【重点难点】 重点：正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程. 难点：产生增根的原因. ┃教学过程设计┃ 教学过程 设计意图 一、创设情境，导入新课 问题1：课件出示本章引言中的问题. 让学生独立思考，回忆以往所学知识，顺势复习分式以及方程的相关知识. 问题2：为了帮助遭受地震的灾区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20问题1是本章章人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数前的引例，以此实际为x人，那么x满足怎样的方程？ 问题复习分式及方程有了问题1，估计问题2学生能轻松拿下，得到答案. 的有关知识，避开了生拖硬拽，顺乎学生906048005000至此得到两个方程：＝，＝. 的心理需求；考虑到30＋v30－vxx＋20一个方程不足以引起议一议：上面所得到的方程是我们以前学过的方程学生的心理指向，于吗？以前我们学过什么方程？试举例说明. 是设置了问题2，二明确：不是，以前学过一元一次方程和二元一次方程，者合起来，为分式方如x－1＝3，x＋y＝7等. 程的现身提供了“物比一比：以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有质”载体. 什么不同？ 以前学过的都是整式方程，里面没有分式，而刚才的两个方程都含分式，且有未知数处在分母的位置上. 说一说：你能尝试给它一个名字吗？说一说命名的原因. 估计学生能答出——分式方程，因为里面含有分式. 1
111想一想：方程x＋(x＋1)＝是不是分式方程？为什236么？你能归纳出分式方程的概念吗？ 不是，因为它不含分式，分母中没有未知数. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 师总结：分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上述2个问题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”. 二、师生互动，探究新知 问题1：试解分式方程：(1)5000. x＋20为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题： (1)回顾一下一元一次方程是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 可师生共解方程3x－15x＋2＋＝2. 2390604800＝；(2)＝30＋v30－vx (2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 在学生回答的基础上，基本形成求解的思路，抓住时机让学生尝试练习，两中等生板演. 由于长时间解整式方程的惯性，检验环节已经淡化，估计学生会忘记检验. 师：在学生完成后，概括出： 解分式方程的过程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 至此，虽然不完善，但已经通过模仿解决了怎样化“整”的问题，应肯定学生所为，并通过巡视、交流发现问题，尤其要抓住去分母的关键——确定最简公分母.着重提炼出求解的基本思想以及与含分母的整式方程的差异.接着为了突出检验的必要性，完善解分式方程的步骤，特出示以下练习： 试一试：解方程12＝2. x－1x－1设置问题1，蕴藏矛盾，通过尝试练习挑起矛盾，设置问题2，3深化矛盾，引导学生刨根问底化解矛盾，在反思中形成解分式方程的方法、步骤. 2
学生易得： 方程两边同乘以(x＋1)(x－1)，约去分母，得 x＋1＝2. 解这个整式方程，得 x＝1. 反问：x＝1真是原分式方程的解吗？ 督促学生进行检验、反思.学生通过代回发现：x＝1时，原方程的分母为0，分式根本没有意义，产生困惑：问题出在哪里？ 组织学生讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤一点问题都没有.师捕住时机，提出问题2. 问题2：同样是分式方程，前面解的两个方程为什么没有碰到这样的麻烦？解一元一次方程为什么也没有这些麻烦？具体一些，就是为什么9060＝去分母后所得30＋v30－v整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的12解，而＝去分母后所得整式方程x＋1＝2的解却x－1x2－1不是原分式方程的解呢？ 真理愈辩愈明，通过学生们思想的交流、思维的碰撞，在相互补遗和老师的参与下明朗起来： 因为在去分母时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先不知道的，我们实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避开了麻烦，而12＝2去分母后所得整式方x－1x－1程的解恰好使得两边乘的整式“(x＋1)(x－1)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象，因此x＝1只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验. 问题3：解分式方程，如何检验？ 组织学生讨论，由于有了前面解方程的基本经验和刚才的辩论，估计学生能作答. 方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等. 方法二：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
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三、运用新知，解决问题 1.解方程：23＝. x－3x分析：题小能量大，注意挖掘，鼓励学生算法的多样性.思路一：方程两边同乘最简公分母x(x－3)；思路二：利用比例的性质“内项之积等于外项之积”；思路三：利用“分式的基本性质”，左右通分，得再求解. x32.解方程：－1＝. x－1（x－1）（x＋2）完成后，提出思考题： 1.由以上两个例子及前面的解题经历，请同学们归纳解分式方程的基本思想、基本方法和基本步骤. 2.你推测一下，可化为一元一次方程的分式方程的解的情况. 明确： 去分母1.(1)基本思想：分式方程――→整式方程. (2)基本方法：方程两边乘以最简公分母. (3)基本步骤：①在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)；②解这个整式方程；③检验. 2.此类分式方程要么有一解，要么无解，两种可能. 四、课堂小结，提炼观点 在探索中遇到困难，你是怎么办的？对自己在本节课 的学习情况进行反思、评价.本节课你能提出什么问题？ 五、布置作业，巩固提升 必做题：教材第154页 复习巩固1 选做题：解方程：(1)1； 1－x2x2x1－x2(2)－＝. x－2x－3x（x－5）＋6
【板书设计】
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2x3（x－3）＝x（x－3）x（x－3） 32＝－x－2x＋1（x－1）2＋4x2
解分式方程 906048005000＝ ＝ 30＋v30－vxx＋20一般步骤： ①去分母； ②求解； ③检验. 【教学反思】 本设计首先创设出生活情境，让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，以及分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性.
第2课时 分式方程的实际应用
【教学目标】 1.会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性. 2.以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力. 【重点难点】 重点：实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用. 难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果. ┃教学过程设计┃ 教学过程 设计意图 一、创设情境，导入新课 问题1：快速解方程. x－81716(1)－＝8；(2)2＋＝. x－77－xx＋xx2－xx2－1基本知识是应用能否反思1：解分式方程的基本思路和步骤是什么？ 顺利进行的资本.通过问反思2：解分式方程与解整式方程的根本区别是题1的解决返扣上一节的什么？ 所学，为应用的开展铺设问题2：你能解决如下实际问题吗？ 好“路基”.然后通过问题某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有2，把生活中常见的工程问即时到位，只好先用人工装运，6小时完成了一半任题摆出来. 务；后来机械装运和人工装运同时进行，1小时完成了后一半任务.(如果设单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？请找出此题中存在的数量关系) 二、师生互动，探究新知 这一环节意在实现从学生交流上述问题2，达成基本共识. 解分式方程到列分式方程等量关系：(人工装运的工作效率＋机械装运的的过渡，通过答问，窥探
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人教版初中八年级数学上册教案分式方程
