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2020 年中考数学压轴题：创新型与新定义综合问题考点专练
【考点 1】几何综合探究类阅读理解问题
【例 1】（2019·甘肃天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1） 概念理解：如图 2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边
形吗？请说明理由；
（2） 性质探究：如图 1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
2222AC⊥BD． 试证明：AB+CD=AD+BC；
（3） 解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG
和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE= 【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2） 如图 1，
73 ．
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
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由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2
， ∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3） 连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ? AG ? AC
在△GAB和△CAE中， ??GAB ??? ?CAE ，
?? ?AB ? AE ∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴ 四 边 形 CGEB是 垂 美 四 边 形 ，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4
2 ，BE=5 2 ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=
73 ．
【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解
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答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式 1-1】（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易 证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠ 3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形ACN1B1C1D1 中，M1 是B1C1 边上一点（不含端点B1，1），1 是正方 形A1B1C1D1 的外角∠D1C1H1 的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
【答案】见解析.
【解析】延长A，使EBMC1B1 至E1=A1B1，连接E1、E1， 如图所示：
2020年中考数学压轴题必考题型创新型与新定义综合问题考点专练(pdf,含解析)
