考点44 抛物线(练习)
【题组一 抛物线的定义及运用】
1．已知抛物线y2?x上的点M到其焦点的距离为2，则M的横坐标是 。 【答案】
7 411【解析】抛物线y2?x焦点F(,0)，准线方程为x??，
44设点M的横坐标为x0，根据抛物线的定义，|MF|?x0?17?2,?x0?. 442．若点A为抛物线y2?4x上一点，F是抛物线的焦点，AF?5，点P为直线x??1上的动点，则
PA?PF的最小值为 。
【答案】65 【解析】由题意可知，p?2，F?1,0?，由抛物线的定义可知，AF?xA?2∴xA?4，代入抛物线方程，得yA?16，不妨取点A为?4,4?，
p?xA?1?5， 2
设点F关于x??1的对称点为E，则E??3,0?， ∴PA?PF?PA?PE?AE??4?3?2??4??65，
2x2223．抛物线y?的焦点到圆C:x?y?6x?8?0上点的距离的最大值为 。
16【答案】6
x2【解析】拋物线y?的焦点为F?0,4?，
16
圆x2?y2?6x?8?0的圆心为C?3,0?，半径r?1， F到圆C上点的距离的最大值为|FC|?r?6.
4．F是抛物线y2?2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，AF?BF?8，则线段AB的中点到y 轴的距离为 。 【答案】【解析】
7 22F是抛物线y?2x的焦点,
?1?1?F?,0?,准线方程x??,
2?2?设A?x1,y1?B?x2,y2?,
?|AF|?|BF|?x1??x1?x2?7,
11?x2??8, 22?线段AB的中点横坐标为
7, 27 2?线段AB的中点到y轴的距离为
25．已知定点M(3,4),F为抛物线y?8x的焦点,点P在该抛物线上移动,当PM?PF取最小值时,点P的
坐标为____________. 【答案】(2,4) 【解析】
0?，准线方程为x??2，设P在抛物线准线方程上射影为P?，∵点P到准线由抛物线方程可知焦点F?2，
的距离与P到焦点距离相等，∴PM?PF?PM?PP?，当x?3，代入抛物线方程求得y??26，∴M点抛物线的内部，当P?，P，M三点共线时，PM?PP?的值最小，此时PM?PP??MP??5，此时P的纵坐标为4，x?2，即P的坐标为?2,4?，故答案为?2,4?.
6．已知点P为抛物线y2?4x上的动点，过点P作圆x2??y?3??1的切线，切点为A，则PA的最小值为_________. 【答案】1
【解析】圆x2??y?3??1的圆心C?0,3?，半径r?1，
22由切线的性质可得PA?PC?r2?2PC?1，
2若要使PA最小，则PC取最小值，
?y02??y02?2,y0?，则PC??设P???y0?3????4??4?2y04?y02?6y0?9， 16x4x32令f?x???x?6x?9，则f??x???2x?6，
164易知f??x?单调递增，且f??2??0，
所以f?x?在???,2?上单调递减，在?2,???上单调递增， 所以f?x??f?2??2，
y04所以?y02?6y0?9的最小值为2即PC的最小值为2，
16所以PAmin?故答案为：1.
【题组二 抛物线的标准方程】
1．已知抛物线x2?2py上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，则p? 。 【答案】2
【解析】由抛物线的方程可得其准线方程为y??p， 22?1?1.
根据抛物线的定义可得A(m,1)到焦点的距离等于其到准线的距离，
考点44 抛物线——2021年高考数学专题复习真题附解析
