第二节 等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.,3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
知识梳理 一、等差数列的概念
1.定义:如果一个数列从第二项开始,每一项与前一项的差都是同一个常数,那么这样的数列叫做等差数列,记作数列{an},首项记作a1,公差记作d.
2.符号表示: an+1-an=d(n∈N*). 二、通项公式
若数列{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 三、前n项和公式 Sn=
n?a1+an?n?n-1?
=na1+d. 22
四、等差中项
a+b
如果三数a,A,b成等差数列,则A叫做a和b的等差中项,即A=.
2五、等差数列的判定方法
1.定义法: an+1-an=d (常数)(n∈N*)?{an}是等差数列. 2.中项公式法: 2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. 3.通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)(n∈N*)?{an}是等差数列. 4.前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B是常数)(n∈N*)?{an}是等差数列. 六、用函数观点认识等差数列
1.an=dn+a1-d,d≠0时是关于n的一次函数.
dd
a1-?n,d≠0时是关于n的常数项为零的二次函数. 2.Sn=n2+?2??2七、等差数列的重要性质
1.在等差数列{an}中,若p+q=m+n,则有ap+aq=am+an;若2m=p+q,则有2am=ap+aq(p,q,m,n∈N*,简称为下标和性质).
2.在等差数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等差数列,公差为kd.
3.若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N*)也成等差数列,公差为k2d.
基础自测
1.(2013·江门二模)已知数列{an}是等差数列,若a3+a11=24,a4=3,则{an}的公差是( )
A.1 B.3
C.5
D.6
解析:(法一)因为数列{an}是等差数列,a3+a11=24,a4=3,利用等差数列的性a7-a4
质可得2a7=24,所以a7=12,d==3.
7-4
(法二)设等差数列的公差为d,
??2a1+12d=24,
∵a3+a11=24,a4=3,∴?解得a1=-6,d=3,故选B.
??a1+3d=3,
答案:B
2.(2013·宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
3
3
A.3 B.±3 C.- D.-3
解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,
4π8π2π
∴a7=,∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-3.故选D.
333答案:D
3.(2013·重庆卷)若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a=________. 解析:设等差数列2,a,b,c,9的公差为d,则9-2=4d, 777
所以d=,c-a=2d=2×=.
4427
答案:
2
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第二节等差数列及其前n项和 文
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