第2讲
一、选择题
直接证明与间接证明
1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(A.lg(1＋a2)>0C.a2＋3ab>2b2解析
)
B.a2＋b2≥2(a－b－1)aa＋1D. 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案B 2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案B 3.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是(A.a>bC.a＝b 解析∵a＝m＋1－m＝b＝m－m－1＝ 1B.a D.a，b大小不定 1，m＋1＋m) .m＋m－1而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴ 11<，即a m＋1＋mm＋m－1 答案B 4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是(A.a－b＞0C.(a－b)(a－c)＞0 )B.a－c＞0 D.(a－b)(a－c)＜0 解析由题意知b2－ac＜3a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0.答案C 5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( ) A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确 解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案D二、填空题 6.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析 要比较6＋7与22＋5的大小， 只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋5.答案 6＋7>22＋57.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.答案 都不能被5整除 ba8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2 ab成立的条件的序号是________.解析 bab要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能 aba ba使＋≥2成立.ab答案 ①③④ 三、解答题 9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a＋bb＋cc＋a ＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.222a＋bb＋ca＋c≥ab＞0，≥bc＞0，≥ac＞0.222a＋bb＋cc＋a··＞abc成立.222 证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴ 又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴ 上式两边同时取常用对数，a＋bb＋cc＋a··得lg222＞lgabc，∴lg a＋bb＋cc＋a ＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.222 10.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3， 22即a21(1＋q)＝a1·a1·(1＋q＋q)， 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.(2)解 当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列； 当q≠1时，{Sn}不是等差数列， 否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾. 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.2aba＋b1x11.已知函数f(x)＝2，a，b是正实数，A＝f2，B＝f(ab)，C＝fa＋b，则A，B，C的大小关系为(A.A≤B≤CC.B≤C≤A解析 ) B.A≤C≤BD.C≤B≤A a＋b1xa＋b2ab∵≥ab≥，又f(x)＝2在R上是减函数，∴f2≤2a＋b 2abf(ab)≤fa＋b.答案A 11112.设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( bcaA.都大于2 C.至少有一个不大于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋11111b＋c＋a＋b＋b＋c＋a＝a＋b＋B.都小于2 D.至少有一个不小于2 ) c＋1“＝”成立，故三者不能都小于2，即至c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时， 少有一个不小于2.答案D 13.如果aa＋bb>ab＋ba，则a，b应满足的条件是________.解析 ∵aa＋bb－(ab＋ba) ＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b). ∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.∴aa＋bb>ab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b. 答案a≥0，b≥0且a≠b 14.(2015·安徽卷)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式； 22(2)记Tn＝x21x3…x2n－1，证明：Tn≥ 1.4n (1)解y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率 1n＝，所以数列{xn}n＋1n＋1 为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴的交点的横坐标xn＝1－的通项公式xn＝(2)证明 n.n＋1 由题设和(1)中的计算结果知， 12322n－1222Tn＝x2.4…2n1x3…x2n－1＝21当n＝1时，T1＝.4 2n－12（2n－1）2（2n－1）2－12n－2n－12当n≥2时，因为x2n－1＝2n＝>＝＝，222nn（2n）（2n）12n－11121所以Tn>2×××…×＝.综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥.234n4nn
2021高考数学(理)一轮复习题库《第12章 第2讲 直接证明与间接证明》
