高考数学复习 第八节 函数与方程
[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得
f(x0)＝0.
2．二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
2
Δ＝b2－4ac 二次函数 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 零点个数 3.二分法 (1)定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)二分法求函数零点近似值的步骤
(x1,0)， (x2,0) 2 (x1,0) 无交点 0 (或(x2,0)) 1 - 1 -
[常用结论]
1．函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，
b)内只有一个零点．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ( )
(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)?D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
( )
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
2
2
( )
(4)二次函数y＝ax＋bx＋c在b－4ac＜0时没有零点． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是( ) A．0 B．1
C．2 D．3
x1
B [∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
e∴f(x)在(－1,0)内有零点，
又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．] 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
- 2 -
A．y＝cos x C．y＝ln x
B．y＝sin x D．y＝x＋1
2
2
A [由于y＝sin x是奇函数，y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]
4．函数f(x)＝3－x的零点所在区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) 352D [∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，
93
C．(－2，－1) D．(－1,0)
x2
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
?1，1? [∵函数f(x)的图象为直线，
?3???
由题意可得f(－1)f(1)＜0，
1
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
3
?1?∴实数a的取值范围是?，1?.] ?3?
判断函数零点所在的区间
1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内
B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A [∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.]
- 3 -
x?1?2．设x0是方程??＝x的解，则x0所在的范围是( ) ?3??1?A.?0，? ?3??12?C.?，? ?23?
x?11?B.?，? ?32??2?D.?，1? ?3?
?1?B [构造函数f(x)＝??－x， ?3?
0
?1?因为f(0)＝??－0＝1＞0， ?3?
13
1??1??f??＝??－?3??3?
111322
1?1??1?1?1???＝??－??＞0，f??＝??－
3?3??3??2??3?
11
221?1??1?
＝??－??＜0.所以由零点存在2?3??2?
x?1??11??11?性定理可得函数f(x)＝??－x在?，?上存在零点，即x0∈?，?，故选B.] ?3??32??32?
x－2
?1?3
3．设函数y1＝x与y2＝??
?2?
所在的区间是________．
x－2
的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0
?1?3
(1,2) [设f(x)＝x－??
?2?
则x0∈(1,2)．]
，则f(x)在R上是增函数，
又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，
4．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x2
－的零点，则g(x0)＝________.
x2
2 [f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]
3[规律方法] 判断函数零点所在区间的3种方法 1解方程法：当对应方程fx＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上. 2定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝fx在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有fa·fb＜0.若有，则函数y＝fx在区间有零点. a，b内必 - 4 -
3图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 判断函数零点(或方程根)的个数
【例1】 (1)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2
C．3 D．4
x(2)(2024·兰州模拟)已知函数f(x)满足： ①定义域为R；
②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)； ③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.
1
则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
2A．5 B．6
??ln x－x＋2x，x＞0
(3)函数f(x)＝?2
??x－2，x≤0
2
C．7 D．8
的零点个数是________．
(1)B (2)A (3)3 [(1)令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，
x?1?x可得|log0.5x|＝??.
?2?
?1?x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，
?2?
可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y1＝f(x)1
与y2＝log2|x|的图象，如图所示．
2
由图象可得方程解的个数为5，故选A.
(3)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x－2x的图象，
2
- 5 -
高考理科数学复习题解析 函数与方程
