变分法的发展与应用

变分法的发展与应用

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摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1. 引言

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研

究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。

近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2. 变分法的起源

物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。

费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。

受费尔马的影响，约翰g伯努利研究了“最速降线”问题：给定空间中的两个点a,b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。

变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3. 变分法的发展

18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯

特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。

1744年，欧拉在“发现具有某种极大或极小性质的平面曲线的方法”一文中研究了使得积分

J?y???f?x,y(x),y,(x)?dx

x0x1达到极大或极小的函数y?y(x)的求解方法。也就把“最速降线”问题化为求积分的极小问题。

假定给定的两个点是a??0,1?和b??x0,0?，其中x0?0;连接两点的曲线是y?y?x?,满足y?0??1,y?x0??0;初始时,质点的速度为0,高度为1,根据能量守恒定律E?mgh?1/2mv2有:

mgy(x(t))?mv2?mg?1?m?02

即 gy(x(t))?v2?g ①

dx??d??dx??dydx??dx?,2而又有v2?? ?yx??g?1?y??????????????dtdtdtdxdtdt??????????1dx?,2将其带入①式得gy?x?t????1?y?g ????2?dt?22g?1?y??dx? ??? ,2dt??1??y?222222121212 dt?1??y,2?2g?1?y?dx

对两边进行积分可得到质点b的时间为T(y)??0x01??y,?22g?1?y?dx

于是问题就转化为求上式积分达到极小值。 4. 变分法的应用

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。 例：推导弦的自由振动方程（设弦两端点固定） 取坐标系如图，用函数u(x,t)表，在时刻t点x的横向位移。 取弦段?x,x??x?，此段的伸长量是 1?ux2dx?dx??t12?12?21?ux?1dx??1?ux?1?dx?uxdx 2?2??在此段中，弹性位能与伸长量成正比，即du?ux2dx k2t1又动能为 T??0??x?ut2dx （?(x)是质量线密度） 2k2于是位能为 u??0ux2dx 作用量为 S??tt2112?1?2?xux,t?kux,tdxdt ??????xx?0??2?2?t这是多元函数u(x,t)的泛函，它的尤拉方程是 ??22???kux,t??xu?????x,t??xt??t???0 ?x?k所以 utt?参考文献：

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