2．2.2 椭圆的几何性质
[对应学生用书P22]
建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质． x2y2
以方程2＋2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：
ab问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？ y2x2
提示：由2＝1－2≥0，得－a≤x≤a.
ba同理－b≤y≤b.
问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？ 提示：不变．
问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：令x＝0，得y＝±b； 令y＝0，得x＝±a；
与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)， 与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤y≤a，－b≤x≤b (0，±a)，(±b,0) (0，±c) F1F2＝2c x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤x≤a，－b≤y≤b (±a,0)，(0，±b) 短轴长＝2b，长轴长＝2a (±c,0) 对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0) ce＝∈(0,1) a
1．椭圆的对称性
椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称． 2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系
(1)0 (2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例． (3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例． [对应学生用书P23] [例1] 求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质． [精解详析] 椭圆的方程可化为 x2＋ y2 ＝1，∴a＝9，b＝1， 81 已知椭圆方程求几何性质 ∴c＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y轴上， 故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)， 顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)， c4 5 B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝. a9 [一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数． x2y21 1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________． m43解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4， 得 m－419＝.解得m＝. 32m 当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m， 得 4－m132＝，解得m＝. 239 932答案：或 29 2．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． x2y2 解：椭圆方程变形为＋＝1， 94∴a＝3，b＝2， ∴c＝a2－b2＝9－4＝5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25， 焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)， c5 顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝. a3 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 4 (1)长轴长为20，离心率等于； 5 (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)． [思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程． c4 [精解详析] (1)∵2a＝20，e＝＝， a5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36. x2y2 由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝10036y2x2 1或＋＝1. 10036 x2y2y2x2 (2)设椭圆的标准方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0)． abab 由椭圆的几何性质求标准方程 由已知a＝2b，① 且椭圆过点(2，－6)，从而有 ?－6?22222?－6?2 ＋2＝1或2＋2＝1.② a2bab 由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13. x2y2y2x2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 148375213 [一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴． 3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 ，且G上一点到G的2 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________． c3 解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝33，b＝3. a2x2y2 故椭圆方程为＋＝1. 369x2y2 答案：＋＝1 369 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； 5 (2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 13解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a＝32＋?2＋2?2＋32＋?2－2?2＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. y2x2 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 1612(2)由题意知，2a＝26，即a＝13， c5 又e＝＝，所以c＝5， a13所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， x2y2y2x2 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 169144169144 x2y2 [例3] 已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任 ab12 c，3c2?，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取一点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为?2??值范围． [思路点拨] 由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围． [精解详析] ∵P是椭圆上一点， ∴PF1＋PF2＝2a， ∴2a＝PF1＋PF2≥2 PF1·PF2， 即PF1·PF2≤a2， 当且仅当PF1＝PF2时取等号． 121c2 22 ∴c≤a≤3c，∴≤2≤2， 23a13 ∴≤e2≤2，∴≤e≤2. 33∵0 3 ≤e<1， 3 3? . ?3，1? 与椭圆离心率有关的问题 ∴椭圆的离心率的取值范围是?[一点通] 1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝ b2b 1－2，求出后求e. aa (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或c a4构造关于(e)的方程求e. a 2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集． 5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则由已知得2a＋2c＝4b.
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质
