课 时 教 学 设 计 首 页（试用）
授课时间： 年 月
日
课题
2.2.2 双曲线的几何性质
课型
新授
第几 课时
1～2
课 时 教 学 目 标
（三维）
了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶
点、渐近线、离心率等几何性质；学生的数学思维能力得到提 高
教学重点：
教学 重点 与 难点
双曲线的性质
教学难点：
双曲线的渐近线概念的理解
教学 方法 与 手段
利用多媒体教学手段，类比教学法进行启发式教学
使 用 教 材 的 构 想
双曲线性质的教学， 可以与椭圆的性质对比进行， 着重指出他们的
异同点．例 3 是双曲线的性质的训练题． 利用对称性，作图会简便的多， 都是求双曲线方程的训练题． 这些题 可以让学生自行练习． 例 4 与例 5 目都属于基础性训练题．
第 1 页 （总
页）
太原市教研科研中心研制
课 时 教 学 流 程
教 师 行 为
☆补充设计 ☆
学 生 行 为
教学意图
*揭示课题
2． 2
双曲线．
了解
*创设情境 兴趣导入
我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程
2
引导
启 发 学 生
观看
x
2
y
课件
得出结果
1( a 0， b 0)
思考
来研究双曲线的性质．
*动脑思考 探索新知
1．范围
因为 ≥ 0，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上 b2
y
2
的点的横坐标满足
x
2
2
≥ 1 ，即 x2 ≥ a2 ．于是有
x≤－ a 或 x ≥ a．
a
这说明双曲线位于直线
x＝－ a 的左侧与直线 x＝ a 的右侧
（如图 2－11）
思考
引 导 学 生
发 现 解 决
问题方法
图 2－11
2．对称性
在双曲线的标准方程中， 将 y 换成－ y，方程依然成立． 这说明双曲线关于 x 轴对称．
同理可知， 双曲线关于 y 轴对称， 也关于坐标原点对称． x 轴与 y 轴都叫做 双曲线的对称轴 ，坐标原点叫做双曲线的 对称中心（简称 中心 ）．
3.顶点
太原市教研科研中心研制
第 2 页 （总 页）
课 时 教学 流 程
教 师 行 为
学 生 行 为
教学意图
在双曲线的标准方程中，令
y 0，得到 x
a ．因此，
双曲线与 x 轴有两个交点
A1 ( a,0) 和 A2 (a,0) （如图
2－ 11）．
双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的
顶点 ．因此
A1 ( a,0) 和 A2 ( a,0) 是双曲线的顶点．
令 x 0 ，得到 y2 b2 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴没有交点．但是，我们也将点 B1(0， b) 与 B2 (0， b)
画出来（如图 2－ 11）．
线段 A1 A2 ，B1 B2 分别叫做双曲线的
实轴 和虚轴 ，它们的
理解
长分别为 2a 和 2b ． a 和 b 分别表示双曲线的 半实轴长 和半虚
记忆
轴长．
【说明】
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
4．渐近线
经过 A1、 A2 分别作 y 轴的平行线 x = － a ，x = a，经过B1、
B2 分别作 x 轴的平行线 y = －b ，y = b．这四条直线围成
一个矩形（如图 2－12）．矩形的两条对角线所在的方程为
y
b a
x ．
双曲线的标准方程可以写成
y
b a
x
2
a
2
b a
x 1
a2 x
2 ，
可以看到，当 | x| 无限增大时， y
的值无限接近于
b x 的
值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线
y
b
a
a
x 无限接近
（但不能相交） ．因此，两条直线 y
b a
x 叫做双曲线的 渐近
线．
太原市教研科研中心研制
第 3 页 （总 页）
课 时 教 学 流 程
教 师 行 为
学 生 行 为 教学意图
图 2－12
【说明】
焦点在 y 轴的双曲线
y2 a2
x2 b2
1( a 0,b 0) 的渐近线方程
为 y
a
b
x ．
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
2c 2a
c a
叫做双曲线的离心
率，记作 e．即
e
c a
．
因为 c a 由
0 ，所以双曲线的离心率 e 1．
b a
c2 a2
a
c2
a 2
1
2
e 1
可以看到， e 越大， 的值越大， 即渐近线 y
bb x 的斜率的
a
a
绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图 2－ 12）．因此，离心率 e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．【想一想】
等轴双曲线的离心率是多少？
*巩固知识 典型例题
太原市教研科研中心研制
第 4 页 （总 页）
课 时 教学 流 程
教 师 行 为
学 生 行 为
观察
教学意图
例 3
求双曲线 9x2 16 y2 144 的实轴长、虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画
注意 观察 学生 是否
出图形．
思考
解 将方程化成标准方程为
x
2
y 2
主动
求解
理解 知识 点
2
16 9
1．
因 此 双 曲 线 的 焦 点 在 x
故 2 2 2 2
轴 上 且
．
a
16，b
9，c a b 25． a 4, b 3, c 5
所 以 双 曲 线 的 实 轴 长 为 8 ， 虚 轴 长 为 6 ， 焦 点 为
F1 ( 5，0)， F2 (5，0) ，离心率为
e
c
5 4 y
，
a
渐近线方程为
3 4
x ．
可以先画出双曲线在第一象限内的图形，然后再利用双曲
线的对称性，画出全部图形．
双曲线方程在第一象限可以变形为
y
3 x2 16 ． 4
在区间 [4, 表：
x
) 内，选出几个 x 的值，计算出对应的 y 值．列
4 0
5
6 3.35
7 4.31
8 5.20
y 2.25
以表中的 x 值为横坐标，对应的 标系中依次描出相应的点
y 值为纵坐标，在直角坐
(x, y) ，用光滑的曲线顺次联结各点
得到双曲线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部
图形（如图 2－ 13）．
太原市教研科研中心研制
第 5 页 （总 页）
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质.docx
