第二部分：函数、导数及其应用（11）
(限时：时间45分钟，满分100分)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是( ) A．[－4，＋∞) B．[－3,5] C．[－4,5] D．(－4,5]
【解析】 ∵函数f(x)＝x－4x的对称轴的方程为x＝2， ∴函数f(x)＝x－4x，x∈[1,5]的最小值为 f(2)＝－4，最大值为f(5)＝5， ∴其值域为[－4,5]． 【答案】 C
2．函数y＝3x＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么( ) A．a∈(－∞，－1) B．a＝2 C．a≤－2 D．a≥2
【解析】 ∵函数y＝3x＋2(a－1)x＋b为二次函数且开口向上， 2(a－1)1－a
其对称轴方程为x＝－＝.
63
若使y＝3x＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数， 则
1－a
≥1，解得a≤－2. 3
2
2
22
2
2
【答案】 C
1
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(||)＜f(1)的实数x的取值范围是( )
xA．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】
1
∵f(x)在R上为减函数且f(||)＜f(1)，
x1
∴||＞1， x
即|x|＜1且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1. 【答案】 C
4．(2012年邵武二模)定义新运算：当a≥b时，a
b＝a；当a＜b时，a
b＝b，
2
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则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1 C．6 D．12 【解析】 由题意知
当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1＜x≤2时，f(x)＝x－2，
又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在定义域上都为增函数， ∴f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6. 【答案】 C
5．函数y＝f(x)对于任意x、y∈R，有f (x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)
＞1，且f(3)＝4，则( )
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3 B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3 C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2 D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2 【解析】 设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－1－f(x2) ＝f(x1－x2)－1＞1－1＝0， 即f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)为增函数．
又∵f(3)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－1－1 ＝3f(1)－2， ∴f(1)＝2. 【答案】 D 二、填空题
??(3a－1)x＋4a
6．已知f(x)＝?
?logax?
333
(x＜1)
(x≥1)
是(－∞，＋∞)上的减函数，那
么a的取值范围是________．
【解析】 ∵当x≥1时，y＝logax单调递减， ∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减， 1
∴a＜；
3
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又函数在其定义域内单调递减，
1
故当x＝1时，(3a－1)x＋4a＞logax，得 a＞，
711
综上可知，＜a＜.
7311
【答案】 ＜a＜ 73
1－x
7．y＝的递减区间是______，y＝
1＋x1－x2
【解析】 y＝＝－1＋，
1＋xx＋1定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)． 对于函数y＝1－x
，其定义域为－1＜x≤1. 1＋x
1－x
的递减区间是______． 1＋x
由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]． 【答案】 (－∞，－1)和(－1，＋∞) (－1,1]
5
8．(2010年湖南高考)设[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[]＝1，对于给定
4
n(n－1)…(n－[x]＋1)*x
的n∈N，定义Cn＝，
x(x－1)…(x－[x]＋1)
3x
x∈[1，＋∞)，则C8＝________；当x∈[2,3)时，函数C8的值域是________．
2【解析】
333816当x＝时，[]＝1，C8＝＝；
22233
2n(n－1)x
当x∈[2,3)时，[x]＝2，Cn＝，
x(x－1)8×756x
C8＝＝. x(x－1)x(x－1)
又∵当x∈[2,3)时，f(x)＝x(x－1)∈[2,6)， ∴
562828x
∈(，28)，∴C8∈(，28]．
x(x－1)33
1628
(，28] 33
【答案】
三、解答题
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1＋x
9．判断f(x)＝在(0,1]上的单调性．
x1＋x
【解析】 f(x)＝在(0,1]上为减函数．
x证明如下：
方法一：设x1，x2∈(0,1]，且x1＜x2. 1＋x11＋x2
则f(x1)－f(x2)＝－
x1x2＝
x2＋x1x2－x1－x2x1
x1·x2
＝
x2－x1＋x1x2(x1－x2)
x1·x2
(x2－x1)(1－x1x2)
x1x2
＝
∵x1，x2∈(0,1]且x1＜x2， ∴x2－x1＞0,1－x1x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 1＋x
所以f(x)＝在(0,1]上是减函数．
x1＋x111
方法二：∵f(x)＝＝＋x＝x－＋x，
22xx1311
∴f′(x)＝－x－＋x－ 222211＝－＋ 3
2x2x＝x－12x
3 x－1
又∵0＜x≤1，∴≤0(当且仅当x＝1时取等号)， 3
2x∴f(x)在(0,1]上为减函数．
10．(2011年广州模拟)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称
区间A为f(x)的保值区间．
(1)求函数f(x)＝x形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；
(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是 [2，＋∞)，求m的取值范围． 【解析】 (1)若n＜0，则n＝f(0)＝0，矛盾． 若n≥0，则n＝f(n)＝n，解得n＝0或1，
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2
2
所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)． (2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)， 所以2＋m＞0，即m＞－2， 令g′(x)＝1－
1
x＋m
＞0，得x＞1－m， 所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数， 同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．
若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m＞－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾． 所以满足条件的m值为－1.
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高考数学二轮限时训练 函数、导数及其应用11 理
