柱、锥、台的表面积和体积
考点 柱、锥、台的表面积 学习目标 了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积 能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系
问题导学
预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
11(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底
33面面积，h为棱台的高．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 底面积：S底＝πr2 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l 公式 直观想象、数学运算 核心素养 直观想象、数学运算 锥体、台体的表面积的求法 - 1 -
底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 圆锥 表面积：S＝πrl＋πr2 1体积：V＝πr2h 3上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 圆台 表面积： S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积： 1V＝πh(r′2＋r′r＋r2) 3■名师点拨 1．柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 1
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
3
1
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋SS′＋S)h.
32．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π(r′＋r)l――→S圆锥侧＝πrl. 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
11S′＝SS′＝0V柱体＝Sh――→V台体＝(S′＋S′S＋S)h――→V锥体＝Sh.
33
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥P-ABC中，VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( )
A.3 B．23 C．33 D．43 解析：选 A．S表＝4S正△＝4×
3
＝3. 4
- 2 -
r′＝r
r′＝0
若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( ) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm3)． 圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于( ) A．72 B．42π C．67π D．72π
解析：选 C．S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.
柱、锥、台的表面积
(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 C．2 倍
B．3 倍 D．5 倍
(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶2 C．2∶2
B．1∶3 D．3∶6 (3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 C．5
B．6 D．3
【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.
(2)棱锥 B′-ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝2，S△B′AC＝
3. 2
3
＝23， 2
三棱锥的表面积 S锥＝4×又正方体的表面积 S正＝6. 因此 S锥∶S正＝23∶6＝1∶3.
(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.
【答案】 (1)C (2)B (3)A
空间几何体表面积的求法技巧
- 3 -
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)
上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．
解：法一：设正四棱台为ABCD
A1B1C1D1，如图①.设B1F为斜高．
1
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
2所以B1F＝
82－22＝215，
1
所以S正棱台侧＝4××(4＋8)×215
2＝4815.
①
法二：设正四棱台为ABCD
A1B1C1D1，延长正四棱台的侧棱交于
点P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如图②.
x4
设PB1＝x，则＝，
x＋88解得x＝8.
所以PB1＝B1B＝8， 所以E1为PE的中点，
2又PE1＝PB21－B1E1＝
82－22＝215， ②
所以PE＝2PE1＝415. 所以S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧 11
＝4××8×PE－4××4×PE1
2211
＝4××8×415－4××4×215
22＝4815.
柱、锥、台的体积
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱
- 4 -
锥．
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥A-A1BD的体积及高．
1
【解】 (1)V三棱锥A1-ABD＝S△ABD·A1A
3111＝×·AB·AD·A1A＝a3. 326故剩余部分的体积
15V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD＝a3－a3＝a3.
661
(2)V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝a3.
6设三棱锥A-A1BD的高为h， 1
则V三棱锥A-A1BD＝·S△A1BD·h
31133
＝××(2a)2h＝a2h， 3226故
3213
ah＝a， 66
3
a. 3
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[提醒] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．
1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 162π，则圆锥的体积是( ) 64πA.
3
解得h＝
128πB.
3
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（2019新教材）人教A版高中数学必修第二册：8 3 第1课时 柱、锥、台的表面积和体积 学案
