主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组是
?1,?2,?4，且r(?1,?2,?3,?4,?5)?3。
4．向量组的秩与矩阵的秩
? 设A是m?n矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵m个行向量构成一个向量组，该
向量组的秩称为矩阵的行秩。
? 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩
阵的列秩。
（三秩相等） ? 矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩。
第四节 线性方程组
【必知公式】
1．齐次线性方程组有非零解的判定条件
? 设A?Mmn，齐次线性方程组AX=O 有非零解?r(A) AX=O只有零解? r(A)＝0，即系数矩阵满秩。 ? 设A是n阶方阵，齐次方程组AX=O 有非零解?A?0； AX=O只有零解?A?0. ? 设A?Mmn，当m 2．齐次线性方程组解的性质 若?1,?2是齐次线性方程组AX=O的解，则和?1??2仍是AX=O的解； 若?是齐次线性方程组AX=O的解，则?的任意常数倍k?仍是AX=O的解。 3．齐次线性方程组AX=O解的结构 ? AX=O的一个基础解系?1,?2,?,?t. 其要点为： （1）?1,?2,?,?t都是AX=O的解； （2）它们是线性无关的； （3）AX=O的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。 则基础解系中含有n－r个线性? 若n元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩r(A)=r，无关的解向量。（这一点和上面的（3）等价，即t=n－r） ? 若?1,?2,?,?t是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O的 通解（一般解）是 X?k1x1?k2x2?...?ktxt 其中k1,k2,?,kt是任意常数。 ? 解齐次线性方程组AX=O的基本方法 解齐次线性方程组AX=O的基本步骤： （1）对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形； （2）假设有r个非零行，则基础解系中有n－r个解向量，选非主元所在的列的变量为自由未知量； （3）将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量。 4．非齐次线性方程组有解的判定 ? 非齐次线性方程组AX?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 r(A)?r(A|b) ? 若n元非齐次线性方程组AX?b有解，即r(A)?r(A|b)＝r 当r=n时，方程组AX当r 5．非齐次线性方程组解的性质 ? 设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则?1??2是导出组AX?0的一个解。 ? 非齐次线性方程组AX?b的任一解?与导出组AX?0的解?的和???是非齐次线 性方程组AX?b的解。 6．非齐次线性方程组解的结构 ? 非齐次线性方程组AX?b的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解＋导出组 的基础阶层的线性组合。 ? 设非齐次线性方程组AX?b，若r(A)＝r，?是AX?b的一个特解，?1,?2,?,?n?r是导出组的基础解系，则AX?b的通解（一般解）是 X???k1?1?k2?2?...?kn?r?n?r 其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。 第五节 矩阵的特征值和特征向量 【必知公式】 1．特征值的定义：设A?Mn，X征值?的特征向量。 2．特征值的性质 ?0，AX??X，?是A的特征值，X是A的属于特 则X1?X2也是A的属于特征值?的特征向量。 ? 若X1,X2都是A的属于?的特征向量， ? 若X是A的属于特征值?的特征向量，k是非零常数，则kX也是A的属于特征值?的 特征向量。 3．特征值的求法 ??a11?a21? A的特征多项式：fA(?)??I?A???an1?a12??a22??an2??a1n??a2n ?????annfA(?)??I?A?0??1,?2,?,?n. （求基础解系） ? 由(?iI?A)X?0?属于?i的特征向量。 ? ??i?trA??aii ? ??i?detA ? 属于不同特征值的特征向量是线性无关。 4．相似矩阵 定义：设A?Mn，若存在可逆矩阵P，满足P5．相似矩阵的性质 相似矩阵由相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值。 6．n阶方阵的相似对角化的条件 ?1AP?B，则称B相似于A, 记作A~B. ? n阶方阵A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 ? n阶方阵A可对角化?A的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征向量的个 数，即若 ?I?A?(???1)n(???2n)?(???s)n12s（其中n1?n2，则n???ns?n） 阶方阵A可对角化?ni?n?r(?iI?A),i?1,2,?,s. ? 方阵A有n个不同的特征值?A可对角化。 7．方阵的相似对角化的步骤 （1）解A的特征多项式： ??a11fA(?)??I?A??a21??an1?a12??a22??an2??a1n??a2n ?????ann求出A的n个特征值?1,?2,?,?n.（其中可能有相重的特征值） （2）解特征方程(?iI?A)X?0 (i?1,2,?,n）,求出A的每个特征值对应的线性无关?A)X?0的基础基础解系。 的特征向量，即求(?iI（3）若A共有n个线性无关的特征向量X1,X2,?,Xn，则令P?(X1,X2,?,Xn)，有 ??1????2??P?1AP??. 注意?i与Xi的对应关系。 ??????4???
GCT数学需要熟记的公式
