线性系统稳定性分析
1.系统的稳定性：
（1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到
原来的稳定输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。 （2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。
当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。 经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov稳定性理论。
2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：X?f(X,t)X(t)|t?t0?X0，其中，
X(t)为系统的n维状态向量，f是有关状态向量X以及时间t的n维矢量函数，f不一定是线性定常的。如果对所有的t，状态Xe总满足：f(Xe,t)?0，则称Xe为系统的平
衡状态。对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。
3. Lyapunov稳定性分析 （1）Lyapunov稳定性定义
设一般控制系统的解为：X(t)??(t;X0,t0)，它是与初始时间t0及初始状态X0有关的，体现系统状态从(t0,X0)出发的一条状态轨迹。设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以Xe为球心，?(?,t0)为半径的n维球域S(?)，使得从S(?)球域出发的任意一条系统状态轨迹?(t;X0,t0)在t?t0的所有时间内都不会跑出S(?)球域，则称系统的平衡状态
.Xe是Lyapunov稳定的。
一般来说，?的大小不但与?有关，而且与系统的初始时间t0有关，当?仅与?有关时，称Xe是一致稳定的平衡状态。
进一步地，如果Xe不仅是Lyapunov稳定的平衡状态，而且当时间t无限增加时，从
S(?)出发的任一条状态轨迹?(t;X0,t0)都最终收敛于球心平衡点Xe，那么称Xe是渐进
稳定的。
更近一步地，如果从S(?)即整个系统状态空间的任意一点出发的任意一条状态轨迹
?(t;X0,t0)，当t??时都收敛于平衡点Xe，那么称Xe是大范围渐进稳定的。显然此时的Xe是系统唯一的平衡点。
反之，对于给定的S(?)，不论??0取得多么小，若从S(?)出发的状态轨迹
?(t;X0,t0)至少有一条跑出S(?)球域，那么平衡点Xe是不稳定的。
（2）Lyapunov第一法（间接法）
通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性，对线性定常系统可以直接通过系统的特征根来分析（与经典控制论中的稳定性判别思路基本一致）。 （3）Lyapunov第二法（直接法）
不必求解系统的状态方程，而是通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性，不但适用于线性定常系统，而且适用于非线性和时变系统。
实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数，于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的虚构广义能量函数，根据V(x)的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。
设系统的状态方程为：X?f(X,t)，其中，为系统的一个平衡状态。如果存在一个正定的标量函数V(x),并且具有连续的一阶偏导数，那么根据V(x)?有：
（1） 若V(x)?0，则Xe?0不稳定； （2） 若V(x)?0，则Xe?0Lyapunov稳定；
（3） 若V(x)?0或V(x)?0，且当X?0时V(x)不恒为0，则Xe?0渐进稳定； （4） 若Xe?0渐进稳定，且当||X||??时V(x)??，则Xe?0大范围稳定。 应当指出，上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。如果给定的V(x)满足上述4个条件之一，那么其结果成立。反之，如果给定的V(x)不满足上述任何一个条件，那么只能说明所选的V(x)对该系统失效，必须重新构造V(x)。 （4）线性定常系统的Lyapunov稳定性分析及系统参数优化
在Lyapunov第二法中，有一类标量函数起着重要的作用，它就是二次型函数。 设X?(x1,x2,?,xn)T，P为n?n阶的实对称矩阵，则
........dV(x)的符号性质，dtV(x)?XTPX?p11?p?[x1,x2,?,xn]?21????pn1称为二次型。
.
p12?p22???pn2?p1n??x1??x?p2n???2?????????pnn??xn?对于线性定常系统：X?AX，若A为非奇异矩阵，那么是系统的位移平衡状态，其稳定性可通过Lyapunov第二法来分析。
取 V(x)?XTPX，其中P为正定实对称矩阵，所以V(x)对X有连续偏导数，并且V(x)?0。
V(x)?XPX?XPX?(AX)TPX?XTP(AX)
?XTATPX?XTPAX?XT(ATP?PA)X令 ATP?PA??Q（称为Lyapunov方程）
可得： V(x)??XQX ，其中Q??(ATP?PA)为对称矩阵。若Q?0，则
.T..TT.V(x)?0，因此Xe?0为渐进稳定，而且是大范围渐进稳定的。
在实际应用中，先给丁一正定矩阵Q，然后通过Lyapunov方程求出对称矩阵P,最后通过赛尔维斯特准则判别P的正定性。若P?0，则系统稳定。 在应用Lyapunov方程时，应注意以下几点：
（1） 有Lyapunov方程求得的P为正定是Xe?0渐进稳定的充分必要条件。 （2） Q的选取是任意的，只要满足对称且正定（一定条件下可以是半正定的），Q.的选取不会影响系统稳定性判别的结果。
（3） 如果ai(t)沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可以取半正定真，即Q?0。 （4） 当取为单位阵I时，Lyapunov方程变为：AP?PA??I，这是个比较简单的
Lyapunov方程。 4. MATLAB/Simulink在Lyapunov稳定性分析中的应用
T1.P?lyap(A,Q)
2.P?lyap2(A,Q) 采用特征值分析法求解Lyapunov方程，运算速度比lyap()快很多。 3.P?dlyap(A,Q) 针对离散系统。
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