二次型
关键知识点：非退化线性替换,矩阵的合同,二次型的标准形定理(定
理1,P215),对称矩阵的合同标准形定理,实二次型的规范形定理即惯性定理,实对称矩阵的合同规范形,实二次型(实对称矩阵)的秩及正惯性指数. 正定二次型,实二次型正定的判别定理,正定矩阵,实对称矩阵正定的充要条件定理,半正定二次型及半正定矩阵.
??1?? 5.1 证明:?????2???i1?????与??????n????i2????合同,其中i1i2?in ???in??是1,2,?,n的一个排列.
详证 对n作归纳.n?1时,结论成立.假设n?1时结论成立.下证n时的情形.
??1??对于对角矩阵A???????i1?????B?与????????n??????,其中 ???in???2?i2i1i2?in是1,2,?,n的一个排列.
3，?,n的一个排列.由归纳假设,则 1)若i1?1,则i2i3?in是2，??2??????i2?????合同于???n???????,从而A合同于B.
?in??2)若i1?1,设ij?1,取C1?P(1,j),则
??1????i2'??C1'BC1??3，?,n的一个排列. ??B',其中i2'i3'?in'是2，?????in'???由1)知A合同于B',从而也有A合同于B.
提示 也可以按相应的二次型来证(通过一非退化线性替换). 5.2 设A是一个n级矩阵,证明:
1)A是反对称矩阵?对任一个n维向量X,有X'AX?0;
2)如果A是对称矩阵,且对任一个n维向量X有X'AX?0,那么 A?0.
略证 1)(?)若A'??A,则
X'AX?(X'AX)'?X'A'X??X'AX,
因此2X'AX?0,即X'AX?0(X为任一n维向量).
(?)取X??i(n维单位向量),则由X'AX?0,即得aii?0, 再取
X??i??j,仍由X'AX?0,则aij?aji?0,aij??aji,即A反对称. 2)A对称,且反对称,则A?0.
5.3 如果把实n级对称矩阵按合同分类,即两个实n级对称矩阵属于 同一类当且仅当它们合同,问共有几类?
提示 两实n级对称矩阵合同?它们有相同的秩且有相同的正惯性 指数.当秩为k时,正惯性指数可以是0,1,2,?,k,因此秩为k时的n级实对 称矩阵可以分为k?1个合同类,所以共有
1?2???(n?1)?1(n?1)(n?2) 2个合同类.
5.4 证明:一个实二次型f可以分解成两个实系数的一次齐次多项式 的乘积当且仅当秩(f)?2和符号差(f)?0,或者秩(f)?1.
详证 (?)如果秩(f)?2,符号差(f)?0,那么存在非退化线性替换
X?CY,使
2f(x1,x2,?,xn)?y12?y2?(y1?y2)(y1?y2),
而Y?C?1X,则y1,y2均为x1,x2,?,xn的一次齐次式,则f(x1,x2,?xn) 可表成两个一次齐次式的乘积.
若秩(f)?1,则存在非退化线性替换X?CY使f(x1,x2,?,xn)?y12, 同样结论亦成立.
(?)设实二次型f(x1,x2,?,xn)可表成两实系数一次齐次式的乘积, 可设
f(x1,x2,?,xn)?(a1x1?a2x2???anxn)(b1x1?b2x2???bnxn).
记??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn).若秩{?,?}?1,不妨设a1?0 且??k?,k?0.则f?k(a1x1?a2x2???anxn)2,作非退化线性替换
?y1?a1x1?a2x2???anxn, ??yj?xj,(j?2,3,?,n)则f(x1,x2,?,xn)?ky12,此时秩(f)?1.
若秩{?,?}?2,不妨设(a1,a2)与(b1,b2)不成比例,作非退化线性替换
?y1?a1x1?a2x2???anxn?y1?z1?z2??y2?z1?z2,则 ?y2?b1x1?b2x2???bnxn,则f?y1y2,再作???y?z,j?3,?,nyj?xj,(j?3,?,n)j??j2,所以秩(f)?2,符号差(f)?0. f?z12?z2 5.5 判别下列二次型是否正定: 1)f(x1,x2,?,xn)??xi2?i?1n2in1?i?j?nn?1i?1?xxij;
2)f(x1,x2,?,xn)??x??xixi?1.
i?11?1?11222??1?11?212?2??, 11?1详解 1)f的矩阵A??1222??????????11?1?1?2?22则A的k阶顺序主子式为
111111?1?222222Pk?121211212???1121212?121211212???112121212?1212120112012????01212112
?????1212?????1212?????1212111??1??1k?1. 22Pk则Pk?(k?1)?1??0,k?1,2,?,n,所以A正定,从而,f正定. 2k说明 对于Pk,也可先每行提取1,然后各行加到第一行中,再第一行 2提取k?1即可化出三角行列式.
0?112?1?211212)f的矩阵A??012???????000则A的k阶顺序主子式为
0???00??00?,
???????11?2?011212012????00012000?Pk?1?14Pk?2(三对角行列式), 1112Pk?0010k??????0由题2.8,则Pk?(k?1)?1??0,k?1,2,?,n.所以A正定,从而f亦正定. 2说明 对于Pk,也可先将每行提取1后再转化成上三角行列式. 25.6 证明:如果A是正定矩阵,那么A的主子式全大于零.
?ai1i1ai1i2?ai1ik??a11a12?a1n??????ai2i1ai2i2?ai2ik??a21a22?a2n?,Ak??提示 设A??是A的k ???????????????a????n1an2?ann??aiki1aiki2?aikik?阶主子阵(与k阶主子式相对应).记X?(x1,x2,?,xn)',f(X)?X'AX,
Xk?(xi1,xi2,?,xik)',fk(Xk)?Xk'AkXk???aisitxisxit.任给不全为零的
s?1t?1kk数ci1,ci2,?,cik,则
fk(ci1,ci2,?,cik)?f(0,?,0,ci1,0,?,0,cik,0,?,0)?0,
因此fk正定,所以|Ak|?0.
5.7 设A是实对称矩阵.证明:当实数t充分大之后,tE?A是正定矩 阵.
详证 显然tE?A(t?R)也实对称.考虑tE?A的k阶顺序主子式
t?a11Pk(t)?a21?ak1a12?a1ka2k??tk?a1tk?1???ak?1t?ak.
t?a22???ak2?t?akkt???时,Pk(t)???.则存在tk?0,当t?tk时Pk(t)?0,(k?1,?,n).取 t0?max{t1,?,tn},则当t?t0时Pk(t)?0,k?1,2,?,n.此时tE?A正定.
5.8 设A为一个n级实对称矩阵,且A?0,证明:必存在实n维向量
X?0使X'AX?0.
详证 记f(x1,x2,?,xn)?X'AX???aijxixj,则f(x1,x2,?,xn)为
i?1j?1nn实二次型.由于A?0,则秩(f)?n,且负惯性指数大于0,那么存在非退 化线性替换X?CY,C?0,使
22f(x1,x2,?,xn)?y12???y2?y???ypp?1n?g(y1,y2,?,yn).
取(y1,?,yp,yp?1,?,yn)'对应的非零向量Y0?(0,?,0,?1,?1,?,?1)' (前p 个分量均为零),令X0?(l1,l2,?,ln)'?CY0,则X0?0(实n维列向量),使
f(l1,?,ln)?X0'AX0?Y0'C'ACY0?g(0,?,0,?1,?,?1)??(n?p)?0. 5.9 证明:n?x?(?xi)2是半正定的。
2ii?1i?1nn略证 将原式子进行变形得
n?x?(?xi)=n?x?(?xi2?22i2nnn2ini?1i?1i?1i?11?i?j?n?xxiijj)
=(n?1)?xi2?2i?1n1?i?j?n?xx
=
1?i?j?n?(x2i?2xixj?x2j)
2=?(xi?xj)?0.
i?j所以n?x?(?xi)2是半正定的.
2ii?1i?1nn5.10 设f(x1,x2,?,xn)?X'AX是一实二次型,若存在实n维向量X1,
X2使X1'AX1?0,X2'AX2?0,证明:必存在实n维向量X0?0使
X0'AX0?0.
提示 由题设,则f的正惯性指数和负惯性指数均大于0,那么,存在 非退化线性替换X?CY,C?0,使
22f(x1,x2,?,xn)?y12???y2p?yp?1???yn?g(y1,y2,?,yn).
二次型
