§5 从力做的功到向量的数量积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列命题中正确的个数有（ ）
①a·0=0 ②0·a=0 ③0-AB=BA ④|a·b|=|a||b| ⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0 ⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0 ⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2 A.7 B.5 C.4 D.2 解析：7个命题中只有③⑦正确.
对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0； 对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|； 对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0； 对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零. ★答案★：D
2.已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为60°时，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°， ∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；
若a与b反向，则它们的夹角θ=180°， ∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×（-1）=-18. ②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°， ∴a·b=0.
③当a与b的夹角是60°时，有 a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.
3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求a·b. 解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.给出下列命题：
12BC＜0，则△ABC是锐角三角形； ①在△ABC中，若AB·
BC＞0，则△ABC是钝角三角形； ②在△ABC中，若AB·
BC=0； ③△ABC是直角三角形AB·
BC≠0. ④△ABC是斜三角形一定有AB·
其中，正确命题的序号是____________________.
BC<0，∴BA·BC=-AB·BC>0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两解析：①∵AB·
个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.
BC>0，∴BA·BC=-AB·BC<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命②∵AB·
题②是真命题.
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BC=0仅能保证③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而AB·
∠B是直角.故命题③是假命题.
BC≠0.故命题④是真④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB·
命题.
★答案★：②④
2.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4，则a·b+b·c+a·c=____________. 解法一：∵a+b+c=0, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0. ∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.
解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13. ★答案★：-13
3.已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角. 解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2. 又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=
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|a|. 2而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=3|a|.
1|a|2a(a?b)32??设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=， |a||a?b|2|a|3|a||a|2?∴θ=30°.
解法二：设向量a=(x1，y1),b=(x2,y2), ∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22. 由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=
1221(x1+y1)，即a·b=(x12+y12). 22由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=3(x12+y12). 设a与a+b的夹角为θ，则
1212222(x1?y1)?(x1?y1)2a(a?b)32cosθ=， ??2222|a||a?b|2x1?y13x1?y1∴θ=30°.
解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB. ∵|a|=|b|，即|OA|=|OB|，
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OD=a+b，BA=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即
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|OA|=|OB|=|BA|.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°， 即a与a+b的夹角为30°.
4.若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值. 解：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)有
22?(a?b)?(2a?b)?0,??2a?a?b?b?0, 即?2?2(a?2b)?(2a?b)?0,???2a?3a?b?2b?0,∴a2=
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b,|a|=|b|,|a|=|b|.
888由2a2+a·b-b2=0得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=?5812|b|， 4∴cosθ=
a?b?|a||b|?1|b|2104??. 105|b|2810. 10
∴a、b的夹角的余弦值为?
5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直? 解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0， ∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0. ∴m=±5. 125时，向量a+mb与a-mb互相垂直. 12∴当且仅当m=±30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( ) A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a·c+b·c C.（a·b）c=a（b·c） D.m（a+b）=ma+mb 解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题. （a·b）·c≠a·（b·c）. ★答案★：C
2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题： ①|a|=|b|；②a2=b2；③a2=a·b；④c·（a-b）=0.正确的有( ) A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 解析：a=b?|a|=|b|；a2=b2；a2=a·b；c·（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立. ★答案★：D
3.对任意向量a、b，|a||b|与a·b的大小关系是( )
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A.|a||b|＜a·b B.|a||b|＞a·b C.|a||b|≥a·b D.两者大小不定 解：|a||b|-a·b=|a||b|-|a||b|cosθ=|a||b|（1-cosθ）. ∵θ∈［0，π］，∴-1≤cosθ≤1，1-cosθ∈［0，2］. 又|a|≥0，|b|≥0，1-cosθ≥0， ∴|a||b|≥a·b. ★答案★：C
4.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2； ③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中， 是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：命题①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确. 又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·c）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确. ★答案★：D
BC＞0；②若a·5.下列命题：①△ABC为锐角三角形，则必有AB·b=0，则a⊥b；③若
a·b=a·c，且a≠0，则b=c；④ |a·b|=|a||b|?a∥b.其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
BC=|AB||BC|·解析：命题①：AB·cos（π-∠ABC）＜0，不正确.
命题②：当a、b为0时，a·b=0
a⊥b，不正确.
命题③：a·b=a·c，即|a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2，
又a≠0，∴|b|cosθ1=|c|cosθ2不一定有b=c.故不正确. 命题④：|a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b|·|cosθ|=|a||b|?|cosθ|=1?θ=0或π，故a∥b.另外当a、b中有一个为0时，也有a∥b.故正确. ★答案★：A
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为
2?，则a在e方向上的投影为________________. 3解析：投影为
a?e2?=|a|·cos=-2. |e|3★答案★：-2
7.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________. 解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2. ∴α·β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°. ★答案★：90°
8.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120°. （1）求证：（a-b）⊥c； （2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值. （1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
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（2）解：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1， ∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1. 又a·b=a·c=b·c=?1， 2∴k2-2k=0.解得k=2或0.
9.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b. (1)当m为何值时,c与d垂直? (2)当m为何值时,c与d共线? 解：（1）由向量垂直的条件得c·d=0，c·d=（3a+5b）·（ma-3b） =3ma2+（5m-9）a·b-15b2=27m+3（5m-9）-60， ∴42m-87=0. ∴m=
2929即m=时c与d垂直 1414（2）由向量共线的条件是c=λd ∴3a+5b=λ（ma-3b）. ∴3a+5b=mλ·a-3λ·b ∵a与b不共线,
5????,???m?3,?3解得?∴?
?3??5,9??m??,?5?即当m=?
9时c与d共线 5Ruize
数北师大必修4优化训练：2.5从力做的功到向量的数量积
