初中数学《勾股定理》教学典型案例分析
我仅从四个方面，借助教学案例分析的形式，向老师们汇报一下我个人数学教学的体会，这四个方面是： 1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合；2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整；3.对数学习题课的思考；4.对课堂提问的思考。
首先，结合《勾股定理》一课的教学为例，谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合 案例1：《勾股定理》一课的课堂教学 第一个环节：探索勾股定理的教学 师（出示4幅图形和表格）：观察、计算各图中正方形A、B、C的面积，完成表格，你有什么发现？
图1 图2 图3 图4 A的面积 B的面积 C的面积
生：从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且，从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边，正方形C的边就是直角三角形的斜边，根据上面的结果，可以得出结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“数”与“形”的密切关联，形成猜想，主动探索结论，训练了学生的归纳推理的能力，数形结合的思想自然得到运用和渗透，“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫，双基教学寓于学习情境之中。
第二个环节：证明勾股定理的教学
教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片，先分组拼图探究，在交流、展示，让学生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同的方法表示)。 学生展示略
通过小组探究、展示证明方法，让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来，并试图通过几何意义的理解构造图形，让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法，提升创新思维能力。 第三个环节：运用勾股定理的教学 师（出示右图）：右图是由两个正方形
组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新 的正方形，若能，看谁剪的次数最少。 生（出示右图）：可以剪拼成一个面积
不变的新的正方形，设原来的两个正方形的 边长分别是a、b，那么它们的面积和就是 a2+ b2，由于面积不变，所以新正方形的面积 应该是a2+ b2，所以只要是能剪出两个以a、b 为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个 边长为 a2+ b2 的正方形就行了。
问题是数学的心脏，学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用，更是对勾股定理探究方法和证明思想（数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想）的综合运用，从而让学生在解决问题中发展创新能力。
- 1 -
第四个环节：挖掘勾股定理文化价值
师：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，见数与形密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的《周髀算经》，在我国古籍《九章算术》中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理”，是欧式几何的核心定理之一，是平面几何的重要基础，关于勾股定理的证明，吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家，甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵，希望同学们课后查阅相关资料，了解数学发展的历史和数学家的故事，感受数学的价值和数学精神，欣赏数学的美。
新课程三维目标（知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观）从三个维度构建起具有丰富内涵的目标体系，课程运行中的每一个目标都可以与三个维度发生联系，都应该在这三个维度上获得教育价值。 2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整
案例2：年前，在鲁教版七年级数学上册《配套练习册》第70页，遇到一道填空题：
例：设a、b、c分别表示三种质量不同的物体，如图所示，图①、图②两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平（图③）也处于平衡状态，则“？”处应放 个物体b?
a c 图① 图②
? 图③
通过调查，这个问题只有极少数学生填上了答案，还不知道是不是真的会解，我需要讲解一下。 我讲解的设计思路是这样的：
一.引导将图①和图②中的平衡状态，用数学式子（符号语言——数学语言）表示（现实问题数学化——数学建模）：
图①：2a=c＋b. 图②: a＋b=c. 因此，2a=（a＋b）＋b. 可得：a=2b， c=3b. 所以，a＋c = 5b. 答案应填5.
我自以为思维严密，有根有据。然而，在让学生展示自己的想法时，却出乎我的意料。 学生1这样思考的：
假设b=1,a=2,c=3.所以，a＋c = 5，答案应填5.
学生这是用特殊值法解决问题的，虽然特殊值法也是一种数学方法，但是存在很大的不确定性，不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”，我必须深化学生的思维，但是，还不能打击他的自信心，必须保护好学生的思维成果。因此，我立刻放弃了准备好的讲解方案，以学生思维的结果为起点，进行调整。
我先对学生1的方法进行积极地点评，肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用，当那几个同样做法的学生自信心溢于言表时，我随后提出这样一个问题：
“你怎么想到假设b=1, a=2, c=3？a、b、c是不是可以假设为任意的三个数？”
有的学生不假思索，马上回答：“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见，大多数将信将疑，全体学生被这个问题吊足了胃口，我趁机点拨：
- 2 -
“验证一下吧。”
全班学生立刻开始思考，验证，大约有3分钟的时间，学生们开始回答这个问题： “b=2，a=3，c=4时不行，不能满足图①、图②中的数量关系。” “b=2，a=4，c=6时可以。结果也该填5.” “b=3，a=6，c=9时可以，结果也一样。” “b=4，a=8，c=12时可以，结果也一样。”
“我发现，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能满足图①、图②中的数量关系，结果就一定是5.”
这时，学生的思维已经由特殊上升到一般了，也就是说在这个过程中，学生的归纳推理得到了训练，对特殊值法也有了更深的体会，用字母表示发现的规律，进而得到a=2b，c=3b.所以，a＋c = 5b. 答案应填5. 我的目的还没有达到，继续抛出问题：
“我们列举了好多数据，发现了这个结论，你还能从图①、图②中的数量关系本身，寻找更简明的方法吗？”学生又陷入深深地思考中，当我巡视各小组中出现了“图①：2a=c＋b. 图②: a＋b=c.”时，我知道，学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。
我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征，这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系，即课堂教学过程不是简单地执行教学设计方案的过程。
在课堂教学展开之初，我们可能先选取一个起点切入教学过程，但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动，就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的，而是多元的；不是确定不变的，而是预设中生成的；不是按预设展开僵硬不变的，而是在动态中调整的。 3.一节数学习题课的思考
案例3：一位教师的习题课，内容是“特殊四边形”。 该教师设计了如下习题：
题1 （例题）顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是怎样的四边形？并证明你的结论。 题2 如右图所示，△ABC中，中线BE、CF A交于O, G、H分别是BO、CO的中点。 （1） 求证：FG∥EH;
FE（2） 求证：OF=CH.
O 题3 (拓展练习)当原四边形具有什么条件时，其中点四边形为矩形、菱形、正方形？题4 （课外作业）如右图所示，
HH GD CDE是△ABC的中位线，AF是边 A BBC上的中线，DE、AF相交于点O. （1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC具有什么条件时，AF = DE。 G E （3）当△ABC具有什么条件时，AF⊥DE。
教师先让学生思考第一题（例题）。教师引导学生画图、观察后，进入证明教学。 B C 师：如图，由条件E、F、G、H
是各边的中点，可联想到三角形中位 F 线定理，所以连接BD，可得EH、 FG都平行且等于BD,所以EH平行
且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形，下面，请同学们写出证明过程。 只经过五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生也觉得不难。但让学生做题2，只有几个学生会做。题3对学生的困难更大，有的模仿例题，画图观察，但却得不到矩形等特殊的四边形；有的先画矩形，但
- 3 -
初中数学《勾股定理》教学典型案例分析
