初三数学 二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a， b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：
a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质 y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. y?ax2?c的性质： 上加下减。
a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质 y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 2向下 y轴 3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。
a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 向下 X=h 4. y?a?x?h??k的性质：
2a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 向下 X=h 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h， 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数y?a?x?h??k222与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到
b?4ac?b2b4ac?b2?前者，即y?a?x?，其中h??，． k???2a?4a2a4a?2六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??当x??当x??b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大； 2a4ac?b2b当x??时，y有最小值．
4a2a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，时，?．当x??4a?2a2a?2a4ac?b2bb． y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值
4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式（交点式）：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴） 3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的x1，x2是一元
二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．. ② 当??0时，图象与x轴只有一个交点；
③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．
2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数y?x?4x?7的顶点坐标是( )
2
22A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y??2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y??2(x?1) B. y??2(x?1) C. y??2x?1 D. y??2x?1 3.函数y?kx?k和
2222y?k(k?0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当
2x?1和x?3时,函数值相等;③4a?b?0④当y??2时, x的值只能取0.其中正确的
个数是( )
个 个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的两个根分别是x1?1.3和x2?（ ）
Ａ．－１.３
226. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 7.方程2x?x2?2的正根的个数为（ ） x个 个 个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y?x?x?2 B. y??x?x?2
C. y?x?x?2或y??x?x?2 D. y??x?x?2或y?x?x?2
222222二、填空题
9．二次函数y?x?bx?3的对称轴是x?2，则b?_______。
210．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 12．抛物线y?2(x?2)?6的顶点为C，已知直线的三角形面积为 。
13. 二次函数y?2x?4x?1的图象是由y?2x?bx?c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取.
22y??kx?3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成
2三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是x?3?0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,?(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
5). 2第15题图
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值
y随x的增大而增大?
12gt （0 重力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ （2）在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线y?x?bx?c经过直线y?x?3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上的一个动点，求使S?APC：S?ACD?5 ：4的点P的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨 售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.?5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y = + + 43 (0≤x≤30). （1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内 时，学生的接受能力逐步减弱？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上. 问矩形DEFG的最大面积是多少? 3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少? 4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.
初三数学二次函数知识点总结及习题含答案
